而 式(3.1.1.2)
对式(3.1.1.2)两边取期望，由于s(n)与v(n)及u(n)互不相关，且s(n)与 也不相关，故有
式(3.1.1.3)
信号功率 与自适应滤波器的调节无关，因此，调节自适应滤波器使 最小，等价于使 最小。这样由式(3.1.1.1)，有 式(3.1.1.4)
由此可见，当 最小时， 也达到最小，即自适应噪声抵消系统的输出信号y(n)与有用信号s(n)的均方误差最小。
在理想情况下，当 时，有 。这时，自适应滤波器自动地调节其权值，将u(n)加工成v(n)，与原始输入信号d(n)中的v(n)相减，使输出信号y(n)的噪声完全被抵消，而只保留有用信号s(n)。但是自适应滤波器能够完成上述任务的必要条件为：参考输入信号 必须与被抵消的噪声v(n)相关。
3.1.2 自适应噪声抵消系统Matlab仿真
以下仿真采用图3.1.1的结构，分别运用LMS，NLMS和RLS循环算法进行噪声消除。
图3.1.2
仿真得出三种自适应滤波算法提取正弦信号的曲线图。可以看出系统能基本还原出原始信号，达到噪声抵消的效果。但是用RLS算法提取的正弦信号质量要好，其中LMS算法提取的信号效果最差，存在没有滤除的随机噪声部分较多，而NLMS算法要比LMS的效果要好，但比起RLS算法在估计精度上有些波动，存在一定的残余误差，即有一定失调。
3.2 自适应陷波滤波器
在通信系统和其他电子系统中，经常会受到诸如50Hz工作频率等单频干扰或者窄带干扰的影响。这种干扰的存在，严重影响了信号的接收或者检测的可靠性和正确性，因此必须加以消除。陷波滤波器是消除这种干扰的有力工具，当自适应噪声抵消系统的参考输入为单一频率正弦信号时，则系统可以构成自适应陷波滤波器。
3.2.1 自适应陷波滤波器的原理
自适应陷波滤波器具有陷波中心频率，且该频率与其参考输入的正弦信号的频率相同。另一方面，自适应陷波滤波器还能够随着干扰频率的变化，自动地修正系统自身参数来跟踪这种变化。典型的单一频率自适应陷波滤波器的原理图如图(3.2.1)所示，图(3.2.1)表示一个具有两个自适应实权的自适应噪声对消器。它等效于有一个复权的噪声对消系统，即用两个实权达到同时调整单一频率正弦波的幅度和相位，以消除干扰的目的。假定原始输入信号的类型是任意的，而参考输入是频率为f的纯正弦波，即
式(3.2.1.1)
图中第一个权的输入直接由参考输入采样得到，而第二权的输入是将第一个权输入移相 产生。即它们可分别表示为
式(3.2.1.2)