2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
知识点梳理： 1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a?|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹不存在;
当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0?e?1)的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.椭圆的方程与几何性质: y2x2x2y2标准方程 ??1(a?b?0) ??1(a?b?0)a2b2a2b2 性 质 参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 a2?b2?c2 (c,0),(?c,0) (0,c),(0,?c) 2c |x|?a,|y|?b (?a,0),(a,0),(0,?b),(0,b) |y|?a,|x|?b (0,?a),(0,a),(?b,0),(b,0) 关于x轴、y轴和原点对称 ce??(0,1) a准线 a2x?? ca2y?? c 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用
[例1 ]
椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A?C?A,此时小球经过的路程为2(a－c); (2)A?B?D?B?A, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A?P?B?Q?A此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习
2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B3两点，则△ABF2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
C A O y P D B x Q 1.短轴长为5，离心率e?x2y2??1上的一点，M,N分别为圆(x?3)2?y2?1和圆2.已知P为椭圆
2516(x?3)2?y2?4上的点，则PM?PN的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
|PC|?|PD|?10，PM?PN的最[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，?小值为10-1-2=7
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来
x2y2x2y2[解析]设椭圆的方程为2?2?1或2?2?1(a?b?0)，
abbab?c??则?a?c?4(2?1)， ?a2?b2?c2?x2y2x2y2?1或??1. 解之得：a?42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为?32161632总结：准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况． 练习：
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
x2y22[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.
22kk又k>0，∴0 4.已知方程x2cos??y2sin??1,??(0,?),讨论方程表示的曲线的形状 ?[解析]当??(0,)时，sin??cos?，方程表示焦点在y轴上的椭圆， 4?当??时，sin??cos?，方程表示圆心在原点的圆， 4??当??(,)时，sin??cos?，方程表示焦点在x轴上的椭圆 425. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦 点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程. 2??a?c?3x2yx2y2?a?23??[解析] ?，?b?3，所求方程为+=1或+=1. 129129??a?2c?c?3 考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率（或范围） [例3 ] 在△ABC中，?A?300,|AB|?2,S?ABC?3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e? ． 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] S?ABC?1|AB|?|AC|sinA?3， 2?|AC|?23，|BC|?|AB|2?|AC|2?2|AB|?|AC|cosA?2 e?|AB|23?1 ??|AC|?|BC|23?22总结： （1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注 练习 6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 1532 A. B. C. D. 2422[解析]选B x2y2?1的离心7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆?mn率为 ?2n?2m?n?m?2x2y22?22?1的离心率为[解析]由?n?mn??，椭圆? mn2?n?4?mn?0?题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） x2y2?1,求x2?y2?x的最大值与最小值 [例4 ] 已知实数x,y满足?42【解题思路】 把x2?y2?x看作x的函数 1x2y2?1得y2?2?x2, [解析] 由?242?2?12x?0??2?x?2 2113?x2?y2?x?x2?x?2?(x?1)2?,x?[?2,2] 2223当x?1时,x2?y2?x取得最小值,当x??2时,x2?y2?x取得最大值6 2练习 x2y29.已知点A,B是椭圆2?2?1（m?0，n?0）上两点,且AO??BO,则?= mn [解析] 由AO??BO知点A,O,B共线,因椭圆关于原点对称,????1 x2y210.如图，把椭圆??1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭 2516圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点 则 ________________ PF?P?P12F?PF34F?P5F?P6F?P7F?［解析］由椭圆的对称性知： P1F?P7F?P2F?P6F?P3F?P5F?2a?35 ． 考点3 椭圆的最值问题 x2y2??1上的点到直线l:x?y?9?0的距离的最小值为[例5 ]椭圆 169___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(4cos?,3sin?). 那么点P到直线l的距离为： |4cos??3sin??12|12?12?2|5sin(???)?9|?22. 2总结： 也可以直接设点P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想” 练习： x2y2?1的内接矩形的面积的最大值为 11.椭圆?169[解析]设内接矩形的一个顶点为(4cos?,3sin?)， 矩形的面积S?48sin?cos??24sin2??24