1四面体高的四等分点，即定有内切球的半径r?h(h为正四面体的高)，且外接球的半径R?3r．
4例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高h?33而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四
2?(2?23)2?26．
个球的最高点与桌面的距离为2?263．
例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R与r和棱长间的关系即可．
解：如图2，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD,BC的垂线交于E,F．
则由AB?1,AC??r?R?3得AO1?3r,CO2?3R．
3(r?R)?3， ?R?r?33?12?3?23．
（1）设两球体积之和为V， 则V? =
4343?(R?r)?3343?(r?R)(R?Rr?r)
2图2
?332?(R?r)432?3rR??43??33?33233()?3R(?R)?? 2?22?=?33?3(3?3)3?32?23R?R?()? ?2?22?当R?3?43时，V有最小值．?当R?r?3?43时，体积之和有最小值．
/ 6
3
心中有梦，美丽就不再遥远。
作业
1. 正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
解：如图，球O是正三棱锥P?ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R．
PH是正三棱锥的高，即PH?1．E是BC边中点，H在AE上，
?ABC的边长为26，∴HE?3612?26?2． ∴PE?3
34(26)?63
2可以得到S?PAB?S?PAC?S?PBC?BC?PE?32． S?ABC?由等体积法，VP?ABC?VO?PAB?VO?PAC?VO?PBC?VO?ABC ∴?63?1?32113?32?R?3?213?63?R 得：R?2323?343?436?2，
3∴S球?4?R?4?(6?2)?8(5?26)?． ∴V球??R?3?(6?2)．
说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．
2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．
解：如图，等边?SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1．
设球的半径OO1?R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R；
OB?O1O?cot30??3R， SO?OB?tan60??233R?3?3R，
23∴V球?43?R，V柱??R?2R?2?R， V锥?313??(3R)?3R?3?R，
∴V球∶V柱∶V锥?4∶6∶9．
3 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49?cm和
400?cm．求球的表面积．
22分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．
解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1//BO2，且若O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1?AO1，OO2?BO2．设球的半径为R．
∵??O2B?49?，∴O2B?7(cm) 同理??O1A?400?，∴O1A?20(cm) 设OO1?xcm，则OO2?(x?9)cm．
在Rt?OO1A中，R?x?20；在Rt?OO2B中，R?(x?9)?7，
222∴x?20?7?(x?9)，解得x?15，
222222222222∴R?x?20?25，∴R?25
∴S球?4?R?2500?(cm)． ∴球的表面积为2500?cm．
/ 6
4
222 心中有梦，美丽就不再遥远。
【高考真题】
（2010四川理数）（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面?，垂足为B， ?BCD是平面?内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 （A）Rarccos13A1725 （B）Rarccos4151825
w_w_w.k*s 5*u.c o*mO（C）?R （D）?R
12 w_w_w.k*s 5*u.c o*mMNDC解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝
cos∠BAC＝255
?B 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝455R，同理AN＝455R，且MN∥CD
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
而AC＝5R,CD＝R
故MN：CD＝AN:AC
w_w_w.k*s 5*u.c o*m? MN＝
45R，
连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝
OM2?ON?MN222OM?ON?17251725
所以M、N两点间的球面距离是Rarccos w_w_w.k*s 5*u.c o*m答案：A
（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 cm. 【答案】4 【解析】设球半径为r，则由3V球?V水?V柱可得3??r3??r2?8??r2?6r,解得r=4.
34（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，
若圆M的面积为3?，则球O的表面积等于__________________. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。
R2222解：设球半径为R，圆M的半径为r，则?r?3?，即r?3由题得R?()?3，所以
222R?4?4?R?16?。 （2009陕西卷文）如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O?是圆O1上两点，若?AO1B=为 . 2?答案:
32，A、B
?2，则A,B两点间的球面距离
A O1 B O 解析:由O1O?2,OA?OB=2由勾股定理在圆O1中 2, 又?AO1B=
?2则有O1A?O1B? 则AB?2 所以在?AOB中，
OA?OB?AB?2，则?AOB为等边三角形，那么?AOB?60?
/ 6
5
心中有梦，美丽就不再遥远。
由弧长公式l?r?(r为半径)得A,B两点间的球面距离lAB?r??2??3?2?3.
（安徽卷理16文16）已知A,B,C,D在同一个球面上,AB?平面BCD,BC?CD,若
AB?6,AC?213,AD?8,则B,C两点间的球面距离是 解： 如图，易得BC?2R?22(213)?6?4，BD?2228?6?27，∴CD?2212，则此球内接长方