() 5
式中：为状态反馈增益矩阵，得二次型性能指 K使标式 ( ) 4最小 .反馈增益矩阵可表示为。
响，电阻应变传感器则可以忽略 .因为主要研究此柔性杆系统扭转振动的主要特性，以忽略重力对系所统动力学的影响.
K— R B p,
() 6
P应当满足下述黎卡提 ( ict代数方程： R cai )一
P— AT A P+
B P— Q— O T .
() 7
由式 ( ) ( ) 5~ 7可知，最优控制规律为l一一 l 一一 R~ B . ( 8)
将式 ( )入式 ( )可得闭环系统的状态方程为 8代 3,一 一
艘
, IJ
( 9 )
—
.
3加权矩阵 Q、的选取 R图 1柔性杆组成布局简图 F g 1 S mp i e o f u a in o l x b e b r i . i l id c n i r t ffe i 1 a f g o
在二次型性能指标函数中，积函数中的第一被
由假设模态法及
拉格朗日方程，建立系统的可动力学方程，即
项 Q主要反映响应过程初始阶段较大偏差的性质，积函数中的第二项 l砌主要反映对控制响被 l
峋+一 Q . () 1式中：为系统的质量矩阵， M K为系统的刚度矩阵，Q为系统的广义力矩阵，,系统的模态坐标矩阵，’为
量的约束，因而二次型性能指标函数可以理解为状态衰减速度与控制过程所消耗的能量之间的一种折
衷.加权矩阵 Q和 R分别为对状态向量和输入控制向量的惩罚 .它们的惩罚作用具有相对性，就是说也增大矩阵 Q中元素的值，相当于减小矩阵 R中元就素的值；而减小矩阵 Q中元素的值，相当于增大则矩阵 R中元素的值 .以对于控制输入“的加权矩所阵 R,常可以设定为单位矩阵 j而只调整对状态通，变量的加权矩阵 Q .定义一 2维向量 P具有下述形式：
U为施加在压电扭转致动器上的电压.考虑系统阻尼，则+ n,+一Q . U () 2
式中：1 J一
+, 6常值比例系数 . n、为
将系统表示成状态方程形式，即
J一， .式中：一
=+ l==砌， J
( 3 )
P一 l 1 2…, 2 . ,, 1。
( 0 1)
[一 K二] [ _;一 r
式中： n<。< 6 ,
为一实数，、 n 6为正实数.
设加权矩阵 Q具有下述形式：
振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究
42 2
浙江大学学报 (工学版 ) Q— da:,,,,, z) ig( … … . ( 1 1)
第4卷 3
1 )编码.用二进制编码形式， Q的分量代采将表的个体表示为一个{,}进制串. 0 1二串长取决于求解的精度和决策变量的定义域 .研究中，向量本将 P的分量。作为决策变量 .一个参数，义域为 某定
式 ( 1确保了 Q正定 . 1) 定义性能指标函数为一
告I[
+H 砌]
() 1 2
[ b u d) ( o n ]求解的精度为 r,字 (o n b u d), 则符串的长度为 lg{ ( o n…一 b u也)] r) o。[ b u d) ( o n / .向大的方向取整，为 Z,该参数的定义域
被离设则散成 2个离散点， z对应 O… O长度为 z) l… 1 0 ( 到 l (度为 z )间的二进制编码，长之这样就构成了参数
式中：是一设定的时间，根据系统实际运行状 可
况(主要考虑系统的振动衰减时间)而定；取为单 R位矩阵；寻找一 Q,得性能指标函数 .使厂的值为极小.设系统具有初始条件 (有模态位移，假具无模态速度 )通过采用状态反馈控制，统在￡时间段，系
优化问题的染色体编码 .化多个参数时，优对每个参数，根据其定义域和求解精度进行编码，然后将这些编码依次连接起来，组成一个二进制编码串，总长其
内，、 H可以求解，因此也可以求解，使得值达极小时所对应的 Q对式 ( )述的二次型性能指 4所标最优，而所获得的状态反馈控制是最优的.由从但于问题的特殊性，的求解并未考虑到实际振动主 Q动控制问题中的硬件条件限制和控制效果，上述策略还需改进 .考虑控制精度和动态性及实际硬件条件，出下述约束条件：提
为∑ z或∑ z(为第 z个参数的编码长 度 )此处定义，∈[, O] 1 25 0 .2 )解码 .码时需要将二进制编码串切断为解 N或 N子二进制编码串，个记为 (I。 6一… ) (=。==
1…,, N或 N .然后分别将它们转换为对应的十 )记一 2… N或 ) (进制整数代码，为 ( 1,,, N,显 1 3 )然有一
vl’ l/), y< (、 O o以及
ma l己… . x<, l
(4 1)
1
式 ( 3主要考虑振动主动控制的衰减效果，系统 1)即在施加控制后，设定的时段内，响应幅值应在其小于初始响应幅值的 .式 (4主要考虑实际控 1)制过程中，由于硬件条件的限制，控制输入电压不至
({ 1 2一 ( ; l 6…6)> 6 2)。一 .￡ 0=
(6 1)
依据个体编码方法和对定义域的离散化方法可知， 将十进制整数代码转换为定义域内对应的变量忌的解码公式为
于过大.Q的优化策略及其约束可合并为
志一 ( o n…+[ b
u d)一 b u d) ( o n…(o n i b u d) ]一
mn=告I[ i= =厶 JO
+] l H出，砌l
.1
( 7 1)
1
l<
}J
3 )产生初始种群 .此种群大小选取为 8,在 0随
机地产生 8 0个初始值 . 4 )计算适应度.因为目标函数是求解最小值， 所以采用目标函数的倒数作为适应度函数，计算在中若出现衰减比大于或最大控制电压大于( 8 1)
ma U… . x l l< M
对于式 (5所提出的优化问题，以有多种求解方 1)可
法，文拟采用遗传算法求解上述问题 .本
U,适应值赋小值而舍去.则
4用遗传算法优化加权矩阵 Q遗传算法 ( e ei a oi m, g n t l r h GA)一种借鉴 c g t是生物进化规律而形成的并行随机搜索最优化方法 . Holn[出了遗传算法的基本定理及大量的数 l 给 ad学证明，奠定了遗传算法的理论基础 .其算法简单， 变异概率为
F(忌)一 1 ./
5 )遗传操作.本文选取交叉概率为一 0 4, . O一 OO5 .0 . 6 )终止条件 .一般采用满足适应度值或采用最大遗传代数作为终止条件.本文优化中，用后在采者，最大遗传代数为 N= 2 O设= O.= 上述步骤构成了加权矩阵优化的基本遗传算法.
可并行处理，能得到全局最优解 .遗传算法以其不依赖于问题模型、寻优过程的自适应性、隐含的并行性及解决复杂非线性问题的鲁棒性，广泛应用于各被
5数值仿真研究压电扭转致动器、柔性杆、阻应变片传感器的电参数分别如表 1和 2所示 .表中：呻、 、、呻、 p G￡ P