【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：2.3 导数的应用(二)]
．3 导数的应用(二
)
x32
1．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0,2]上最小值是( )
3
1710A．－ B．－
33
64
C．－4 D．－32
解析：f′(x)＝x＋2x－3，f′(x)＝0，x∈ [0,2]只有x＝1.
1710
比较f(0)＝－4，f(1)＝－f(2)33
17
可知最小值为－3
答案：A
2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29 C．－5 D．－11
解析：由f′(x)＝0 x＝0或2.∴f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，∴m＝3，f(－2)＝－37.
答案：A
3．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12 解析：设小正方形边长为x，铁盒体积为y. y＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋2304x.
y′＝12x2－384x＋2304＝12(x－8)(x－24)． ∵48－2x＞0，∴0＜x＜
24.
一、选择题
∴x＝8时，ymax＝8192. 答案：B 4．(2014·潍坊期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( )
1
A．1＋ B．1
e
C．e＋1 D．e－1
解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.
且当x＞0时，f′(x)＝ex－1＞0，x＜0时， f′(x)＝ex－1＜0，即函数在x＝0处取得极
1
小值，f(0)＝1，又f(－1)＝1，f(1)＝e－1，综合比较得函数f(x)＝ex－1在区间[－1,1]上
e
的最大值是e－1.故选D.
答案：D
π1
0， 上的值域为( ) 5．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间 2 2
【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：2.3 导数的应用(二)]
1x1x
解析：f′(x)＝e(sinx＋cosx)(cosx－sinx)
22
＝excosx，
π
0≤x≤f′(x)≥0，
2
π
0，上的增函数． ∴f(x)是 2π 1π
∴f(x)的最大值为f 2 ＝2e2
1
f(x)的最小值为f(0)＝2
π
0，上的值域为∴f(x)在 . 2答案：A 6．(2014·潍坊质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在定义域x∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：
①f(x)是奇函数；②若f(x)在[s，t]内递减，则|t－s|的最大值为4；③若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝0；④若对 x∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由题意得函数过原点，则c＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax＋b
.
f′ 1 ＝3＋2a＋b＝－1，则必有
f′ －1 ＝3－2a＋b＝－1. a＝0，解得
b＝－4.
所以f(x)＝x3－4x.
2令f′(x)＝3x2－4＝0得x＝.
3
则函数在[－2,2]上的最小值是负数．
由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B. 答案：B 二、填空题 7．若f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为__________． 解析：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2. 又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5， ∴f(x)max＝3.又f(x)≤a，∴a≥3. 答案：[3，＋∞) 8．(2014·湖州调研)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为__________．
【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：2.3 导数的应用(二)]
解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立．
31
当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－xx
3 1－2x 31
设g(x)＝g′(x)
xxx111
0，上单调递增，在区间 1 上单调递减，因此g(x)max＝g ＝4，所以g(x)在区间 2 2 2从而a≥4.
31
当x＜0，即x∈[－1,0]时，同理，a≤xx
g(x)在区间[－1,0)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，
从而a≤4，综上，可知a＝4. 答案：4
9．将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯
梯形的周长 2
形，记s＝s的最小值是__________．
梯形的面积
解析：如图，设AD＝x(0＜x＜1)，则DE＝AE＝x， ∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x
.
2， 4
33
∴梯形的面积为x2.
442
3x－6x＋9∴s×＜x＜1)．
31－x－8 3x－1 x－3
∴s′3 1－x 111
0，时，s′＜0，s递减；当x∈ ，1 时，s′令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈ 3 3 3
13
＞0，s递增；故当xs的最小值是.
33
323答案：3
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
解析：显然a≠0，f′
(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)． (1)当a＞0时，如下表：
又S△ADE＝
∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3， ∴b＝3.
【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：2.3 导数的应用(二)]
又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3， ∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2. (2)当a＜0时，如下表：
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，∴b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29， ∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.
a＝2， a＝－2，
综上， 或
b＝3b＝－29.
11．某商场销售某种商品的经验表明：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格
a
x(单位：元/千克)满足关系式y＝10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为
x－3
5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．