kexi budengshi
柯西不等式的证明及其应用
赵增林
（青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007）
摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西
不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式
定理：如果a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn为两组实数，则
2222
(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) （*）
当且仅当a1b2 a2b1 a1b3 a3b1 …… a1bn anb1 0时等号成立。 若b1 0,b2 0,……,bn 0，则不等式的等号成立的条件是
aa1a2
…… n。 b1b2bn
我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明：
一）两个实数的柯西不等式的证明：
22
对于实数a1,a2,b1,b2，恒有(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)，当且仅当
a1b2 a2b1 0时等号成立。如果b1 0,b2 0则等式成立的条件是证明：对于任意实数a1,a2,b1,b2，恒有
a1a2
。 b1b2
22
(a12 a2)(b12 b2) (a1b1 a2b2)2 (a1b2 a2b1)2，而(a1b2 a2b1)2 0， 22故(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)当且仅当a1b2 a2b1 0时等号成立。
不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有
异于原点O的两点P(a1,a2)，Q(b1,b2)，由距离公式
得：|OP
| ，|OQ
|
|PQ
|
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设OP与OQ的夹角为 ，
|OP|2 |OQ|2
|PQ|2由余弦定理得cos 。
2|OP||OQ|因为 1 cos 1，所以cos
12
2 1，
22
即(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)当且仅当cos2 1时等号成立，
即OPQ共线时等号成立。这时有
a1a2
，即a1b2 a2b1 0。 b1b2
二）柯西不等式的证明：
常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：
作差：因为( a)( b) ( aibi)2
2i
2j
i 1
j 1
i 1
n
n
n
( a)( b) ( aibi)( ajbj)
2i
2j
i 1
j 1
i 1
j 1
nnnn
ab aibiajbj
22ij
i 1j 1
i 1j 1
nn
1nn22nn22
( aibj ajbi 2 aibjajbi)
2i 1j 1i 1j 1i 1j 1
nnnn
1nn222 (aibj 2aibjajbi a2jbi)
2i 1j 1
1nn
(aibj ajbi)2 0
2i 1j 1
所以( a)( b) ( aibi) 0，即( a)( b) ( aibi)2
2i
2j
2
2i
2j
i 1
j 1
i 1
i 1
j 1
i 1
n
n
n
n
n
n
2222
即(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)
当且仅当aibj ajbi 0(i,j 1,2,……,n) 即
aiaj
(i 1,2,……,n;j 1,2,……,n;bj 0)时等号成立。 bibj
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2）利用恒等式证明：
先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式： 对于二组实数
a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn有柯西—拉格朗日恒等式
2222
(a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) (a1b1 a2b2 …… anbn)2
(a1b2 a2b1)2 (a1b3 a3b1)2 … (a1bn anb1)2 (a2b3 a3b2)2 … (a2bn anb2)2 … (an 1bn anbn 1)2 由实数性质 2 0( R)可得柯西不等式成立。 3）利用判别式证明（构造二次函数法） i)若a1 a2 …… an 0，则不等式显然成立。
22ii)若a1，a2，……，an至少有一个不为0，则a12 a2>0 …… an
对于任意的实数x，总有(aix bi)2 0(i 1,2,……,n), ai2x2 2aibix bi2 0。 当i 1,2,……,n时，将以上n个式子相加，有
2222
(a12 a2 …… an)x2 2(a1b1 a2b2 …… anbn)x (b12 b2 …… bn) 0 22当a12 a2 …… an 0时，上面的不等式对于所有的x均成立。
故有判别式
2222 4(a1b1 a2b2 …… anbn)2 4(a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) 0 2222即(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)。
当
aaba1a2ababa
…… n时，因为121 222 …… n2n 1。 b1b2bnb1b2bnb1
a1b1 a2b2 …… anbna1a1b1 a2b2 …… anbnb1
。同理可得 。 222222
b1 b2 …… bnb1a1 a2 …… ana1
故
两式相乘，得
2222
(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)
即不等式的等号成立。 不等式的等号成立，即
2222
(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)时，有 2222[ 2(a1b1 a2b2 …… anbn)]2 4(a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) 0
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则关于x的方程
2222
(a12 a2 …… an)x2 2(a1b1 a2b2 …… anbn)x (b12 b2 …… bn) 0
则有(a1x b1)2 (a2x b2)2 …… (anx bn)2 0 于是aix bi 0(i 1,2,……n)，即
aa1a2
…… n。 b1b2bn
ai1
(i 1,2,……n)，即bix
4）用数学归纳法证明
2
i）当n 1时，有(a1b1)2 a12b2，不等式成立。 222
当n 2时，(a1b1 a2b2)2 a12b2 a2b2 2a1b1a2b2
2222222
(a12 a2)(b12 b2) a12b12 a2b2 a12b2 a2b1。
22222
因为a12b2)(b12 b2) a2b1 2a1b1a2b2，故有(a1b1 a2b2)2 (a12 a2
当且仅当a1b2 a2b1，即
a1a2
时等号成立。 b1b2
ii）假设n k时不等式成立。即
222
(a1b1 a2b2 …… akbk)2 (a12 a2 …… ak)(b12 b2 …… bk2)
当且仅当
aa1a2
…… n时等号成立。 b1b2bn
那么当n k 1时，
(a1b1 a2b2 …… akbk ak 1bk 1)2
22
(a1b1 a2b2 …… akbk)2 2ak 1bk 1(a1b1 a2b2 …… akbk) ak 1bk 1
22222 (a12 a2 …… ak)(b12 b2 …… bk2) 2ak 1bk 1(a1b1 a2b2 …… akbk) ak 1bk 1 2222222222 (a12 a2 …… ak)(b12 b2 …… bk2) a12bk2 1 b12ak 1 …… akbk 1 bkak 1 ak 1bk 1
22222 (a12 a2 …… ak 1)(b1 b2 …… bk 1) 2222 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)