当且仅当a1bk 1 b1ak 1,a2bk 1 b2ak 1,……,akbk 1 bkak 1时等号成立，
kexi budengshi
即
aaa1a2
…… k k 1时等号成立。 b1b2bkbk 1
于是n k 1时不等式成立。
由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。 5）用向量法证明
设n维空间中有二个向量a ，b (b1,b2,……,bn)，其中 （a1,a2,……,an）
a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn为任意两组实数。
由向量的长度定义，有|a
| b
| 又由内积的定义，a b |a||b|cos , j是a, b的夹角，
且有a b a1b2 a2b2 …… anbn。 因|cos | 1，故| a b | |a||b|，于是
|a1b1 a2b2 …… anbn|
2222
(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)
当且仅当|cos | 1时，即a与b共线时等号成立。
（ R）由a,b共线可知a1 b1,a2 b2,……,an bn
即
aa1a2
…… n(bi 0,i 1,2,……,n) b1b2bn
由以上，命题得证。 柯西不等式的应用： 1）证明不等式
在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。
例1：已知a1,a2,……,an为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有
ana1a211
…… 1 …… 。 1222n22n
证明：由柯西不等式：
不等式
112
(1 ……
)2 ……
2n (
an11a1a21 …… )( …… ) 22212na1a2an
kexi budengshi
111 ……
aa1a211。 于是2 2 …… n (1 …… )2
12n2n1 1 …… 1
a1a2an
又因为a1,a2,……,an为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小
111 …… 1。 的数不小于2，最大的不小于n，这样就有
111 …… a1a2an11
1 ……
11 1 1 …… 1。 所以有(1 …… )2n1 1 …… 12n
a1a2an11
1 ……
aa1a211 因为2 2 …… n (1 …… )
12n22n1 1 …… 1
a1a2an11
1 ……
11 1 1 …… 1 而(1 …… )2n1 1 …… 12n
a1a2an所以有
ana1a211
…… 1 …… 。 1222n22n
例2：设ai 0(i1 ,2,
,……)n
，
则证明： a1 a2 …… an)
i 1
n证明：由柯西不等式，对于任意的n个实数x1,x2,……,xn，有
22
(x12 x2 …… xn)(12 12 …… 12) (x1 x2 …… xn)2
(x1 x2 …… xn)2 即x x …… x
n
21
22
2n
于是i 1
i 1
n
n
nnn
[( aj) ai] n 1) ai a1 a2 …… an)。
i 1j 1i 1
kexi budengshi
2）求函数的极值
柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由
2222
(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)可得
a1b1 a2b2 …… anbn
边当作一个函数，而右边值确定时，则可知a1b1 a2b2 …… anbn的最大值与最
aa1a2
…… n。 b1b2bn
反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。
例1：求函数y asinx bcosx的极值，其中a,b是常数。 解：y2 (asinx bcosx)2 (a2 b2)(sin2x cos2x) a2 b2
故有y 当且仅当
sinxcosxa
时，即x arctan k (k Z)时， abb
函数y asinx
bcosx有极小值
例2：已知a,b,c,R为常数，当x2 y2 z2 R2时，求函数f(x,y,z) ax by cz的最大值与最小值。
解：由柯西不等式：
f2(x,y,z) (ax by cz)2 (a2 b2 c2)(x2 y2 z2) (a2 b2 c2)R2
故f(x,y,z) 当且仅当
xyz
t，即x at,y bt,z ct（t为常数）时等号成立。 abc
将x at,y bt,z ct代入x2 y2 z2 R2得(a2 b2 c2)t2 R2
则t
(x,y,z) a,b,c)时，
f(x,y,z ) c
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3）解方程
2x y 5
例1：解方程组 2 2
9x 4y 35
21
解：由柯西不等式有[(3x)2 (2y)2] [()2 ()2] (2x y)2
32
即9x 4y
22
52
()2 ()232
36 35，故方程组无解。
9 222
x y z
例2：在实数集内解方程组 4
8x 6y 24z 39
解：由柯西不等式
(x2 y2 z2)[( 8)2 62 ( 24)2] ( 8x 6y 24z)2 （1）
9
因为(x2 y2 z2)[( 8)2 62 ( 24)2] (64 36 4 144) 392
4
又因为( 8x 6y 24z)2 392。
即(x2 y2 z2)[( 8)2 62 ( 24)2] ( 8x 6y 24z)2 即（1）式取等号。
xyz （2） 86 24
6918
（2）式与 8x 6y 24z 39联立，则有x ,y ,z 。
132613
4）解三角与几何问题
由柯西不等式取等号的条件有
例1：在三角形ABC
中，证明 sinnA sinnB sinnC 证明：由柯西不等式：(sinnA sinnB sinnC)2 (1 sinnA 1 sinnB 1 sinnC)2
(12 12 12)(sin2nA sin2nB sin2nC)
即(sinnA sinnB sinnC)2 3(sin2nA sin2nB sin2nC) （1） 因为sin2nA sin2nB sin2nC 1 cos2nA
1
2 cos2nA (cos2nB cos2nC)
2
1 cos2nB1 cos2nC
22
2 cos2nA cos(nB nC)cos(nB nC)
kexi budengshi
2 cos2nA cos(nB nC)cos(nB nC)
2 cos2nA cos(nB nC)
故sin2nA sin2nB sin2nC 2 cos2nA cos(nB nC) （2） 又因为2 cos2nA cos(nB nC) 2 cosnA(1 cosnA)
2 [
cosnA (1 cosnA)2
]
2
19
（3） 44
9
将（3）代入（2）得sin2nA sin2nB sin2nC （4）
49
将（4）代入（1）得(sinnA sinnB sinnC)2 3
4
因而2 cos2nA cosnA 2
即 sinnA sinnB sinnC
例2
：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的
a2 b2 c2 ，其中a,b,c为三角形的三边长，S为三角形的面积。 证明：由海伦——秦九韶面积公式S2 s(s a)(s b)(s c)，其中s