2013浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
经管类
题 号 得 分 姓名 评阅人 线 一 二 三 四 五 六 总分 一、计算题（每小题14分，满分70分）
1．求极限lim
2．设f(x)连续且满足f(x)?1?x?
k?ln?n?k??lnn??2??。 n???nk?1n准考证号 订 ?x0tf?x?t?dt，求f(n)(0)。
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3．计算积分
? 4 0min3?x?1?,?8?x?4?dx。
?3?sin?x?a?4．求积分?dx,其中为a,b常数。
sin?x?b?
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5．设某均匀薄板片由半径为1的半圆下接一个高为h 的等腰三角形而成，已知该薄板片的的重心位于圆心，求h的值。
二、（满分20分）
设数列?xn?满足：x1?1，xn??0,?/2?，sinxn?xncosxn?1，n?1,2,? 证明：数列?xn?收敛。
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三、（满分20分）
求
?3n?1的和。
n?1????1?n四、（满分20分）
半径为r的绕圆心旋转着的圆盘垂直浸入水中，问浸入水中深度h为何值时，圆盘露出水面部份浸湿的面积最大？
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五、（满分20分）
(1)设f?x?在?a,b?上二阶连续可导且f???x??0，证明：f是凸函数，即 ??,???0,?1 ? ???f1? a??b????f?a???f? b?1?x?（2）证明f?x?????1?在?0,1?上严格单调增。
1?x
2013浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
经管类参考答案
一、计算题（每小题14分，满分70分）
1．求极限limk?ln?n?k??lnn??2??。 n???nk?1k?11,?xk? ?k?xk?1 nnn解：记f?x??xln(1?x)， xk?nnk??f??k??xk ?ln?n?k??lnn??2??k?1nk?1111x21dx? 原极限??xln(1?x)dx??ln2??0220x?1412．设f(x)连续且满足f(x)?1?x?解：f(x)?1?x??x0tf?x?t?dt，求f(n)(0)。
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