f?(x)??1??f?t?dt f??(x)??f?x?
0x所以 f(0)?1,f?3．计算积分解：
(?0?) f?2k?(0)k?1,2?, ?1,f?2k??1(?0?) 1? 4 0min3?x?1?,?8?x?4?dx。
3?3?? 4 0min3?x?1?,?8?x?4?dx??3?x?1?dx??8?4?x?dx
0 1?? 13 4?34451892?1??4?32??36? ?4444．求积分
sin?x?a??sin?x?b?dx,其中为a,b常数。
解：sin?x?a??sin?x?b?cos?a?b??cos?x?b?sin?a?b?
sin?x?a?cos?x?b?dx?cosa?bx?sina?b?????sin?x?b??sin?x?b?dx
?cos?a?b?x?sin?a?b?lnsin?x?b??c
5．设某均匀薄板片由半径为1的半圆下接一个高为h 的等腰三角形而成，已知该
薄板片的的重心位于圆心，求h的值。
解：以圆心为坐标坐标原点，半圆与等腰三角形的公共部份为x轴 则半圆?1???x,y?x2?y2?1,y?0
12?等腰三角形?2???x,y?x?1?y/h,?h?y?0? ???????yds???yds???yds?0
??1?2
重心位于圆心即为yc?0 即 即
?102y1?ydy??2y?1?y/h?dy?2/3?h2/3?0
2?h0 所以h?2 二、（满分20分）设数列?xn?满足：x1?1，sinxn?xncosxn?1，xn??0,?/2?，
n?1,2,? 证明：数列?xn?收敛。
解：由微分中值定理 得????0,1? 使sin1?sin0?cos??cosx2?x2???1
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一般地sinxn?sin0?xncos??xncosxn?1?xn?1???xn?1 从而?xn?单调下降且xn?0 所以?xn?收敛。
三、（满分20分） 求?解：考虑f?x????????1?nn?13n?1的和。
n?n?1????1?3n??x3n?1??1?
f?1???3n?1n?13n?1nx3 x?1时 f??x?????1?x??31?xn?1nx1xx?21x31??x?(?)dx f?x????dx??x?dx?01?x301?x33?0x2?x?1x?1x11x1d(x2?x?1)1x1 ??x?ln1?x???dx 22?00332x?x?12(x?1/2)?3/41112x?1??x?ln1?x?ln(x2?x?1)?arctan 3633111?limfx??1?ln2?arctan ???x?1333n?13n?1????1?n四、（满分20分）
半径为r的绕圆心旋转着的圆盘垂直浸入水中，问浸入水中深度h为何值时，
圆盘露出水面部份浸湿的面积最大？
解：记露出水面部份浸湿的面积为S ，没入水中部份的面积为S1
22则S??r???r?h??S1 而 S1?rarccos2r?hr2?r?h?2rh?h2 S??2??r?h??r22rh?h2?2rh?h2??r?h?22rh?h2?2??r?h??22rh?h2 S??0???r?h??2rh?h2???r?h??2rh?h2?h?r(1?1??12)
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h?r(1?1??12)?1 舍去 所以 h?r(1?1??12)时S最大。
五、（满分20分） (1)设f?x?在?a,b?上二阶连续可导且f???x??0，证明：
f是凸函数，即 ??,???0,1? ????1 f??a??b???f?a???f?b?
1?x?（2）证明f?x?????1?在?0,1?上严格单调增。
1?x解：(1)f?a??f??a??b??f???a??b????1???a??b?? ?f????????1???a??b??/2?f同理f?b??f所以 f2??a??b???f???a??b??a?b?
??a??b???f???a??b??b?a?
??a??b???f?a???f?b?
?（2）记g?t??1?t 则 g???t????(??1)t其中 ?1?? t1?t2?1 t2??1t1???21 ??2?0 从而 g?t?是凸函数
1?t2t?t?0 ?2?21?0 1?t11?t1g?t2???1g?t1???2g?1??g?t2?g?t1?1?t2 g?t1? ??1?t11?t21?t1f?t1??f?t2? 所以f?x?严格单调增。
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