第十章 能 量 法
承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，从而使载荷位能减少。如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定律，减少了的载荷位能将全部转变为应变能储存于构件或结构内。据此，通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构加力点处沿加力方向的位移。
但是，机械能守恒定律难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。应用更广泛的能量方法，不仅可以确定构件或结构上加力点处沿加力方向的位移，而且可以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移；不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。
本章介绍的是：用应变能的概念，根据能量守恒原理来解决与弹性结构或构件变形有关问题的一般方法，这种方法称为能量法。能量法既可用于计算构件或结构位移；也可用以解决静不定问题及其它一些问题；本章只讨论用能量方法计算位移。
§10.1 杆件的应变能计算
前面我们曾讨论过拉伸（压缩）、扭转或弯曲时的变形计算。但是在工程上还常遇到比较复杂的结构，例如图10-1中所示的桁架、刚架——是指由直杆组成的具有刚性结点的结构、拱——是指杆轴为曲线而且在铅垂载荷作用下会产生水平支座反力的结构等。在计算这些结构上某一点或某一截面的位移时，能量法是比较简单的方法。
通过拉伸（压缩）、扭转、弯曲时的应变能分析，可见：杆件在受力变形后，都储
PPqPP(a)桁架(b)刚架图10-1 (c) 拱 藏有应变能。若不计杆件变形过程中少量的热能等损失，则杆件能量守恒，外力在弹性体变形过程中所作的功W应等于杆件内储藏的应变能V?，即V?=W。
在第七章我们曾经分别得到等截面杆各横截面上的内力为常量时，拉伸（压缩）、扭转、弯曲（参看图10-2）时的应变能表达式如下
2FNl1拉伸（压缩）时 V??FP?l? 此处FN=FP （10-1）
22EA 1
2Mxl1圆轴扭转时 V??MP?? 此处Mx=MP （10-2）
22GIP1M2l平面弯曲时 V??MP?? 此处M=MP （10-3）
22EI综合以上三个表达式中外力表达的部分，可以把应变能概括地写为
1F? (10-4) 2式中 F——在拉伸（压缩）时表示拉力（压
V??W?力），在扭转或弯曲时表示集中力偶，所以此处F称为广义力；
?——在广义力作用处与广义力F相应的位移，称为广义位移，在拉伸（压缩）时它是与拉力（压力）相应的位移?l，在扭转时它是与扭转力偶矩相应的转角φ，在平面弯曲时它是与弯曲力偶矩相应的截面转角?（如图2所示）。 倘若构件或结构上作用着若干个广义力Fi（i=1、2、??、n），由这些广义力共同引起的广义位移为?i（i=1、2、??、n），则此时也可以从广义力所作的功来求应变能：由于外力所作功W或应变能V?均可证明与加载顺序无关，而只
(a)(b)FPlM0△lφγllM0(c)θ 与各载荷最终值有关（见例10-1）；故在求上述
图10-2 应变能V?时，可认为各载荷Fi，均同时从零开始
按同一比例增长到最终值。当构件或结构上的广义位移?i与广义力Fi成正比时，在这种加载方式下，构件或结构内的应变能可用每一广义力在其作用点的广义位移上所作的功的和来计量，即
1111n?5 )V??W?F1?1?F2?2???Fn?n??Fi?i (102222i?1由于杆件处于线性弹性（即材料符合虎克定律，力与变形成正比）的情况下，广义力与
广义位移之间应该有成正比例的关系，设其比例系数为ｃｉ，则
Fi?ci?i
将其代入式(10-1) 可得
1n1nFi220 6 (1?V??W??ci?i??2i?12i?1ci上式表明杆件的应变能与外力功都是广义力Ｆｉ的二次齐次函数，所以对功或应变能来
说，在一般情况下力的作用独立性原理已不再成立，也就不能再用叠加法进行计算。由于ci是比例系数，故由式(10?3)可见应变能总是正值。
例10?1 如图10-3所示，有一简支梁，跨中C点受有集中力FP，左支座上作用有
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弯曲力偶矩M0，试计算此梁与弯曲变形相应的应变能。
解： (1)若FP与M0同时作用，并由零逐渐增加到这一数值。由挠度表可直接查得跨中和左端支座截面处由于FP、M0分别作用时所引起的位移，再利用叠加法即得
M0Al/2FPCyCl/2FPBAl/2CM0Bl/2yCFAθAMl/2CFPyCMl/2B(a)图10-3 图10-4 (b) FPl3M0l2yC??,48EI16EIFPl2M0l?A??
16EI3EI由于力与位移方向一致，所以将此位移代人式（10-5）时应取正值，从而得
2lM0FPl2?111?FP2l3M0V??W?FPyC?M0?A?????
22EI?96616?(2)假定先作用集中力FP，然后再加M0，如图10-4，则集中力所作功为
FPl3FP2l311WFP?FPyCP?FP?
2248EI96EI且在再加力偶M0的过程中外力作功为
WM0,FP2lM0l211M0?M0?AM0?FPyCM0??FP 223EI16EI上式的第二项是力FP在跨中C点位移yCM0（由力偶M0所引起的）所作的功；由于这一过程中，FP之值不变，所以所作功为FPyCM0而没有系数
于是总的应变能为
1。 2V??W?WFP?WM0,FP1?FP2l3M02lM0FPl2?????? EI?96616?以上两种不同加载顺序下所得结果完全相同；由此可见，应变能的数值只与
M0FPl2所受载荷（FP，M0）的最终值有关，与加载的顺序无关。同时，由于存在，
16可见FP与M0引起的变形对它们作的功是互相影响的，所以对功或应变能来说，力的作用独立性原理不再成立，因而也就在计算时不能应用叠加法。
现验证如下：
在按叠加法计算时，须分别计算此梁在FP与M0各自单独作用下的应变能，然后求和，其结果应为
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V??W?11FPyCFP?M0?AM022
M0l2FPl3111?FP2l3M02l2??FP??M0?????248EI23EIEI?966?M0FPl2显然这比上面结果少了这一项；这就说明了，在计算外力作功或应变能时不能
16EI应用叠加法。
由上面的例题可见：当所求杆件的外力与外力作用处的位移已知时，此杆件的应变能可以比较简便地算出。但是，如果位移是尚待求出的未知量，就不能按上面讲的方法求应变能了；此时，必须用到广义内力（FN、Mx、FQ、M）来表达应变能公式，再通过内力与外力的关系，得出应变能与外力的关系式。由于无论外力多么复杂，内力分量只有FN、Mx、FQ、M四种，下面仅就弯曲变形为例，讨论如何以M表达弯曲应变能。
如图10-5所示，若杆件的截面上的内力M沿杆件
O长度是改变的，即M=M（x），可以把杆件分成长度为dx的微分段，在这个微分段的两个端截面上的内力的
改变dM（x）可以忽略不计，因此可以利用式（10-3）表示这个微分段的应变能
M2(x)dxdV??dW?
2EIρM(x)+dM(x)M(x)
图10-5
全杆的应变能应由积分来得出为
M2(x)dx （10-7） V??W??2EIl同理，可以分别求得当杆件截面上的内力FN、Mx、FQ沿杆长改变时，全杆的应变
能为
V??W??lFN2(x)dx2EA （10-8）
2Mx(x)dx （10-9） V??W??2GIPlV??W??klFQ2(x)dx2GA （10-10）
式中，k—是与截面形状、尺寸有关的系数，对于矩形截面为1.2，圆截面为1.185，
薄壁圆环截面2，工字形截面为1.176。
在杆件处于组合变形的情况下，截面上将同时出现几种内力，如图10-6所示，若微分段dx的两端截面上有内力（对微分段杆而言，它们都是外力）FN（x）、FQ（x）、Mx（x）、M（x），若杆件在小变形的情况下，则对于微分段dx每一种内力仅对它相应的位移作功，而对其它位移不作功。例如：轴力FN与剪力FQ引起的变形相互垂直，剪
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力FQ与轴力FN引起的变形垂直，扭矩Mx与弯矩M引起的转角d?互相垂直，弯矩M与扭矩Mx引起的扭转角d?也互相垂直，所以相应的FN（x）、FQ（x）、M（x）、Mx（x）对这些位移均不作功。于是，在微分段dx上作用的力和力偶所作的总功为
dW?1111FN(x)??(dx)?M(x)?d??Mx(x)?d??kFQ(x)?dy2222 22FN(x)dxM2(x)dxMx2(x)dx1FQ(x)dx????k2EA2EI2GIP22GAzyF N(x)xdx△(dx)M(x)F N(x)F Q(x)dxM(x)F N(x)F N(x)xF Q(x)dxM x(x)M x(x)F Q(x)F Q(x)dz(a)φd(b)dθ/2dθ(c)dθ/2M x(x)M x(x)dxxM(x)/2M(x)dx(d)(e)
图10-6 由于V?=W，故dV?=dW，因而将上式对杆件全长积分后，即可得杆件在组合变形时总的应变能为
22FN(x)dxM2(x)dxMx2(x)dxkFQ(x)dx （10-11） V?????????2EA2EI2GIP2GAllll式中，第三项扭转应变能是对圆截面杆推导的。
值得注意的是：对于跨度较大的梁，剪切应变能与弯曲应变能比较数值很小，一般可以
A忽略不计。
例10-2 如图10-7所示简支梁，跨中受集
中力FP作用，梁的抗弯刚度为EI，并且为常量。试求此梁的弯曲应变能。
解：（1）梁的支反力：FA?FB?FPx1l/2l/2x2BFB
FA图10-7
FP 2（2）梁的弯矩方程：选定每一段的坐标原点如图10-7中所示。
Fl(0?x1?) AC段：M(x1)?FAx1?Px122F1(0?x2?) BC段： M(x2)?FBx2?Px222（3）弯曲应变能：由式（10-7）得
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