济南初中数学压轴 --------姜姜老师
北师大版七年级下三角形综合题归类
一、 双等边三角形模型
1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角
形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
D
O
A
O
C E B
C
E A B
D 图7 图8
同类变式： 如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.
图c
3. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：
CD?BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD?BE是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说
明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，
请说明理
图9 图10 图11
由．
同类变式：已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE?CD；②AM?AN；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想?BHD的度数，并说明理由； F E B
B 图① M C N A E D B M E 图② G A C C N D A D 4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与 DE相交于点H． H （3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜?BAE ＜180°），设△ABE的面积 为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明．
5.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE?DB，连接AE，CD． （1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．
D A G E B F C
二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等
1. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC
交CF的延长线于D．
求证：（1）AE＝CD； （2）若AC＝12 cm，求BD的长．
2.
（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C
在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。
图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明: BD=DE+CE.
(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD (3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。 3. 直线CD经过?BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且?BEC??CFA???． （1）若直线CD经过?BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若?BCA?90,???90，则EF BE?AF（填“?”，“?”或“?”号）； 0 CA?180②如图2，若0??B，若使①中的结论仍然成立，则 ??与?BCA 应满足的关系是 ； （2）如图3，若直线CD经过?BCA的外部，????BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明． E C 图1 B F D C A 图2 B E F D A E C F A B 图3 D 考点2：利用角相等证明垂直 1. 已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 QFADPBEC2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF． (1)求证：CD=BF； (2)求证：AD⊥CF； (3)连接AF，试判断△ACF的形状. 拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． A 图9 3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. E F D B C 4.如图1，?ABC的边BC在直线l上，AC?BC,且AC?BC,?EFP的边FP也 在直线l 上，边EF与边AC重合，且EF?FP （1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 数量关系和位置关系； （2） 将?EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接 AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将?EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点Q,连结AP,BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成 A 立，给出证明；若不成立，请说明理由. 三、 等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用 1. 如图，?ABC中，AB?AC，?BAC?90?，D是BC中点，ED?FD，ED与AB交于E，FD与AC 交于F．求 证：BE?AF，AE?CF． 2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD， 取BD的中点M，连结ME,MC．试判断?EMC的形状，并说明理由． B C (F) (1) P l B F A (E) E Q BA EAFDC(2) C P l MDEB 压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt?ABC中，AC?BC，?C?90?，D为AB边的中点，?EDF?90?，?EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． 1当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时（如图1），易证S?DEF?S?CEF?S?ABC．当?EDF绕D点旋转到DE和AC2不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S?DEF，S?CEF，S?ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． AADACADEDECCF图1BC图2FBE图3BF 3. 已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H 是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE= 1BF (3)CE与BC的大小关系如何。 2