考点2：等腰直角三角形（45度的联想）
1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F.
⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
2. 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①求证：DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）
HBB
AGFDECGAD图2
CE图1
同类变式：（期末考试原题哦） 已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F （1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时
1猜想AE与EF满足的数量关系是 . ○
2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系 ○是 .
3请证明你的上述猜想； ○
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？
四、 角平分线问题
1. 如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD＝x, BC＝y，且x,y满足x?y?6x?8y?25?0
（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论； （3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.
2. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这
个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA
的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你
在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 B
图①
AEBDC22AAFNFC图（1）BCE图（2）MBME
D B
C
A
M
E O
N P
A
图② (第23题图)
B F E D C
A
F D
图③
C
13.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分?BAD，过C作CE?AB于E，并且AE?(AB?AD)，
2则?ABC??ADC等于多少？
4. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
A（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
BEGCFD
五、中点问题
1. 在△ABC中, D为BC的中点， 过D点的直线GF交AC于F, 交AC的平行线
BG于点G。DE?GF, 并交AB于点E. 连结EG.
（1）求证: BG?CF；
（2）请猜想BE?CF与EF的大小关系, 并加以证明 2.
如右下图，在?ABC中，若?B?2?C，AD?BC，E为BC边的中点．求证：AB?2DE．
ABDEC
3. 已知?ABC中，AB?AC，BD为AB的延长线，且BD?AB，CE为?ABC的AB边上的中线．求证CD?2CE（提示：倍长中线试试）
CAEBD
附加思考题： 以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
⑴如图① 当?ABC为直角三角形时，线段AM与DE的数量关系是 ； AM与DE的位置关系是 ；
⑵将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转??(0???90)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
DNEADNEABM图①CBM图②C
24、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一
D,G?B于H，H,F分别在AB,BC且G点EHDD?HG，
点，连接
上，且EF//DG。
（1）若AD?3,CG?2，求DG的长；
（2）若GF?AD?BE，求证：EF?1DG。 2