北京航空航天大学研究生课程试卷 B
2015－2016 学年 第一学期期末试卷
参考答案
学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日
考试科目：《数理统计》（B层）
一、填空题（本题共16分，每小题4分）
1．设x1,x2，?,xn是来自正态总体N(0,?2)的简单样本，则当c? 时，统计量??cx2?(xk?1nk?x)1n服从F?分布，其中x??xk。（n(n?1)）
n2k?12. 设x1,x2，?,xn是来自两点分布B(1,p)的简单样本，其中0?p?1，n?2，则
?2?cx(1?x)是参数q(p)?p(1?p)的无偏估计，当c? 时，统计量?n1n其中x??xk。（）
n?1nk?1?2?x,x?[0,?]3．设总体X的密度函数为p(x;?)???2，其中??0，x1,x2,?,xn是
?x?[0,?]?0,来自总体X简单样本，则?的充分统计量是 。（x(n)） 4．设x1,x2，?,xn是来自正态总体N(?,?2)的简单样本，已知样本均值x?4.25，
?的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则?的置信度为0.95的双侧置信区间为(
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,)。（(3.1,5.4)）
北京航空航天大学研究生课程试卷 B 二、（本题12分）设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(1,2?2)的简单样本。（1）求?2的极大似然估计?2；（2）求?2的一致最小方差无偏估计；（3）问?2的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。 解（1）似然函数为
L(?)?(对数似然函数为
214??2)exp{?n14?2?(x?1)}
2ii?1nn1n2lnL(?)??(ln(4?)?ln?)?2?(xi?1)2
24?i?12求导，有
?lnL(?2)n1n2 ???(x?1)?i224??2?4?i?1?lnL(?2)1n2???0，可得?的极大似然估计为?令(xi?1)2。 ?2??2ni?1（2）因为
f(x1,x2,?,xn;?)?(14??2214??2)exp{?n14?2?(x?1)}
2ii?1n令c(?2)?()n，h(x)?1，w(?2)??n14?2，，由于w(?2)的值域(??,0)有内
点，由定理2.2.4知T??(xi?1)2是完全充分统计量。而
i?1nE(?(xi?1))??E(xi?1)2?2n?2
2i?1i?1n1n2??因而?(xi?1)既是完全充分统计量T??(xi?1)2的函数，又是?2的无偏?2ni?1i?12n1n??估计，由定理2.2.5知?(xi?1)2是?2一致最小方差无偏估计。 ?2ni?12?2)?（3）Var(?12Var((x1?1)2)??4。因为 4nn - 2 -
北京航空航天大学研究生课程试卷 ?2lnf(x;?2)112 ??(x?1)222223?(?)2(?)2(?)所以
B ?2lnf(x;?2)11I(?)??E()???E(x?1)2 222223?(?)2(?)2(?)2??12(?2)2?1(?2)2?12?4
2?4((?2)?)21n2???)?从而Var(?，即信息不等式等号成立，故?(xi?1)2是??22ni?1nnI(?)2?2的有效估计。
三、（本题12分）已知某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布N(80,302),断裂强度的单位是kg/cm2。为提高钢索断裂强度，改进生产工艺，现从新工艺下
生产的钢索中抽取9根，测得断裂强度的平均值为x?100（kg/cm2）。 设新工艺下钢索强度仍服从正态分布，且总体方差不变。在显著性水平??0.05下，是否可以认为新生产的钢索断裂强度较以往钢索断裂强度有显著提高？即需要检验假设检验问题
H0:???0H1:???0
进一步计算犯第二类错误的概率?(?)，并讨论?(?)关于?的单调性。 解：假设检验问题为
检验统计量为u?x??0?2，拒绝域为W?{(x1,x2,?,xn):u?x??0?2?z1??}。
n100?803029n3?2?1.65?z0.95，所以拒绝假设H0，认为这批钢索断裂30由于u??20?强度较以往钢索断裂强度有显著提高。 犯第二类错误的概率为
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北京航空航天大学研究生课程试卷 ?(?)?1?P?{x??0?z0.95}
B ?2nx??0?P?{?2?z0.95}
nx???P?{?2?z0.95????0?2}
nn??(z0.95????0?2)
n??(1.65?0.1?(??80))
其中???0，?(?)是?的单调减函数。
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北京航空航天大学研究生课程试卷 B 四、（本题10分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子A,B,C,D外，还需考察交互作用A?B。今选用表L8(27)，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越大越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
列号 A C B A?B D 实验数据 1 2 3 4 5 6 7 试验号 1 1 1 1 1 1 1 1 356 2 1 1 1 2 2 2 2 321 3 1 2 2 1 1 2 2 425 4 1 2 2 2 2 1 1 423 5 2 1 2 1 2 1 2 216 6 2 1 2 2 1 2 1 258 7 2 2 1 1 2 2 1 271 8 2 2 1 2 1 1 2 376
A C B A?B D 1525 1151 1324 1268 1415 1371 1308 1121 1495 1322 1378 1231 1275 1338 404 344 2 110 184 96 30
B1 781 487 B2 744 634 A1 A2
因素的主次顺序为A,C;A?B,B,D，较优工艺条件为A1B1C2D2。
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北京航空航天大学研究生课程试卷 五、（本题10分）随机向量(x1,x2,x3)的协方差矩阵
?100??????02?1?
?0?14???B （1）根据主成分80%的选取标准，应选取几个主成分？
（2）试求第一主成分。
??1解：由|?I??|?00001?0，可得特征值为 ??4??21?1?3?2?4.4142，?2?3?2?1.5858，?3?1
而
?1???24.41426故选??63.06%?80%，1??85.71%?80%，
?1??2??37?1??2??37??2?200????1?→?01?1?2?
????0??1?2?1?1?2??? 0两个主成分。
?2?20?（2）由于?01?2??01??2?200???→?01?1?2?，对应的齐次方程组为 ???0?00???(2?2)x1?0 ??x2?(?1?2)x3?0?x1??0?????一组非零解为?x2???1?2?，从而对应于特征值?1?3?2?4.4142的单位特
?x??1??3???征向量为
?a1???a??a2???a??3?0?0???????1?1?2????0.3827?
4?22?1??0.9239?????所以，第一主成分为y1??0.3827x2?0.9239x3。
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