麦克斯韦气体速率分布律
Maxwell Velocity Distribution
大家知道，由气体的温度公式
133Rmv2?kT?T 222NA
可以得出气体分子的方均根速率
v2?
3kT3RT。 ?mMs例如在0?C时，氦气v2?1305m。氧气v2?461m。
s
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。1920年斯特恩（O.Stern)首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier)和库士（Kusch)测出钍蒸汽分子的速率分布。斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）
英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。
一、测定气体分子速率的实验 1．实验装置
A ——蒸汽源，常用汞蒸汽 BC ——速度选择器 D ——显示屏 2．实验原理
当圆盘B、C以角速度ω转动时，每转动一周，分子射线通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子由B到C的时间不一样，所以并非所有通过B的分子都能够通过C达到显示屏D，只有速率满足下式的分子才能通过C达到D
l?? v?即 v??l ?
实际上当圆盘B、C以角速度ω转动时，能射到显示屏D上的，只有分子射线中速率在v→v+Δv区间内的分子。 3．实验结果
当圆盘以不同的角速率转动时，从显示屏上可测量出每次所沉积的金属层的厚度，各次沉积的厚度对应于不同速率间隔内的分子数，比较这些厚度，就可以知道在分子射线中，在不同速率间隔内的分子数与总分子数的比率，即相对分子数。
1）分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有关； 2）速率特别大和特别小的分子数的比率非常小； 3）在某一速率附近的分子数的比率最大；
4）改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。 二、麦克斯韦分子速率分布定律 1．速率分布函数
令N表示一定量的气体所包含的总分子数，dN表示速率分布在v→v+dv内的分子数，dN/N表示在这一速率区间内的分子数占总分子数的百分率。由实验可知，dN/N与dv成正比，且与速率v有关，我们把这个关系写成如下的形式
式中
f(v)?dN?f(v)dv NdN Ndv
此函数能够定量地反映给定气体在平衡态下速率分布的具体情况，我们把这个函数称为速率
分布函数。
2．麦克斯韦气体分子速率分布律
1859年，麦克斯韦运用统计理论导出气体分子按速率分布的规律：当气体处于平衡态时，分布在任一速率间隔v→v+dv内的分子数占总分子数的比率为
dN?m??4? ??N2?kT??3/2e?mv22kTv2dv
这个结论称为麦克斯韦速率分布律。式中 m是分子的质量；T是热力学温度；k是玻耳兹曼常量。而f(v)为
?m?f(v)?4? ??2?kT??3/2e?mv22kTv2——速率分布函数
f(v)的物理意义：f(v)表示气体分子在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率。或气体任一分子速率恰在v附近单位速率间隔内的几率。这样f(v)的大小就定量地反映了在温度T时，分子按速率分布的具体情况。如果画出f(v)—— v的变化曲线，也就是速率分布曲线，如右图，它与实验得到的分布结果吻合。说明速率分布函数是符合实际的。为了加深地理解，我们作以下说明：
1）几率：在任一速率区间v→v+dv上，取以分布函数
dN的量值为高，以速率间隔dv为宽的窄条的面积NdvdNdN?dv?为，也就是分布在该区间内的分子数占总分NdvNf(v)?子数的百分率；或任一分子速率恰在该区间隔的几率。
dN2＝?f(v)dv表示速率分布在v1→v2内的分子数占总分子数的百分率。或说任一2）
Nv1分子速率恰在v1→v2区间隔的几率。
3）归一化条件（Normalization Condition）
速率分布曲线下的总面积，表示各个速率区间内分子数的百分率的总和，即百分之百，
?Nv应等于1。
?0f(v)dv?dN?1 ?N0
这个关系是由f(v)本身的意义所决定的，或者说是f(v)必须满足的条件，故称其为分布函数的归一化条件。 4）速率分布曲线
以速率v为横轴，以速率分布函数f(v)为纵轴，可作出速率分布曲线。由此曲线可看出，曲线有一极大值，与此极大值对应的速率叫最概然速率（最可几速率），它的物理意义在下面讨论，另外从速率分布曲线的形状看出：具有很大速率和很小速率的分子的百分比都很小。 三、气体分子的三种统计速率
气体分子的速率可以在零到无穷大之间，速率很大和很小的分子的相对分子数较小，而具有中等速率的分子所占总分子数的比率较大。这里讨论三种具有代表性的分子的速率，它们是分子速率的三种统计值。
1．最概然速率（the most probable speed）
1）定义：从f(v)与v的关系曲线图中可以看出，f(v)有一极大值，与f(v)的极大值相对应的速率叫做最概然速率，用vp表示。
2）物理意义：在一定温度下，气体分子分布在最概然速率附近的单位速率间隔内的相对分子数最大。
它的值是由速率分布函数对v求一阶导数并令其为零得到，即
因而可得
vp?
用摩尔质量表示，有 vp?df?v??0 dvv?vp2kT m2kTNA2RTRT ??1.41mNAMM
注意：最概然速率并不是最大速率。
2．平均速率（mean speed）
1）定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率，用v表示。 v＝
2）计算：
如取dN代表气体分子在v→v+dv间隔内的分子数，则平均速率可由积分计算
?Nv?Niii??NvNii
vdN? v?
由速率分布函数可得 dN?Nf(v)dv 因而平均速率为
NvdN?vNf(v)dv? v?＝?NN?vf(v)dv
?2?m?考虑到 f(v)?4? ??2?kT??得平均速率为 v?用摩尔质量表示，有 v?3/2e?mv22kTv 和积分公式 ?e??xx3dx?1/(2?2)
028kT ? m8RTRT＝1.60 ? MM
3．方均根速率（root-mean-square speed）
前面我们曾根据理想气体的温度公式求得了气体分子的方均根速率，那么用速率分布函数也可以求得同样的结论。由平均值的定义可得。
1）定义：速率平方平均值的平方根。
v?2?Nv?Ni2ii??NvN2ii
2）计算：对于气体分子
v2vdN?v???N22Nf(v)dvN?mv22kT??v2f(v)dv
?2?m?考虑到 f(v)?4? ??2?kT??
得平均速率为
3/2e23?v 和积分公式 ?e??xx4dx?(5)1/2
8?0v2?3kT m
用摩尔质量表示，有
v2?3RTRT ?1.73 MM
4．关于三种速率的讨论
1）三种速率都与温度的平方根成正比，与质量的平方根或摩尔质量的平方根成反比
温度高，vp大 摩尔质量大，vp小
2）三种速率的大小顺序为
vp?v?v2，
且 vp：v：v2＝1.41：1.60：1.73
3）三种速率各有不同的含义，也各有不同的意义
讨论速率分布时——用最概然速率 讨论分子碰撞时——用平均速率
讨论分子平均平动动能时——用方均根速率 例4．试求氮气分子的平均平动动能、方均根速率和平均速率。设（1）在温度t?1000C时，（2）在温度t?0C时。
解：（1）在温度t?1000C时，由平均平动动能和方均根速率的公式得
000??33kT??1.38?10?23?1273J?2.63?10?20J 223RT3?8.31?1273m3mv2???1.06?10 ?3ssM28?10v?
8RTRT8.31?1273m＝1.60?1.60?9.83?102m ?3ss? MM28?100（2）同理，在温度t?0C时
??33kT??1.38?10?23?273J?5.65?10?21J 22v2?3RT3?8.31?273m??493m ?3ssM28?108RTRT8.31?273m＝1.60?1.60?455m ?3ss? MM28?10vpvp例5．试计算气体分子热运动速率的大小介于vp?和vp?之间的分子数占总
100100v?分子数的百分数。
vpvpvp99?vp,?v?(vp?)?(vp?)?解：按题意，v?vp?。在此，利10010010010050v用vp，引入W?，把麦克斯韦速率分布律改写成如下简单形式：
vp2?N4?f(W)?W?W2e?w?W （1） N?v?v199?现在， W? ，?W? ?vp50vp100
把这些值代入（1）式，即得
99vp?N44992?(100)212?w2?We?W?()e??1.66% N50??100