拉普拉斯变换
一． 拉普拉斯变换的定义
设f（t）是变量t的函数，定义：
F(s)=
??0f(t)e?stdt 为f ( t )的拉普拉斯变换。记为￡[f(t)]=F(s).
1??j?st-1
称逆拉普拉斯变换，记为 f（t）=￡[F(s)]。 F(s)edt???j?2?jｆ(t)=
二． 一些常用函数的拉普拉斯变换
1． 阶跃函数 1（t）
1 ￡[f (t)]=
?0?0f(t)e-stdt -st
?0 =
??e?st1edt=–
s=1 0 t s 2.指数函数 e - at ￡[e?at]=
??0e?ate?stdt=
1 s?a3.冲击函数 ?(t)
?st￡[?(t)]=??(t)edt=1
0?三． 拉普拉斯变换的性质
1． 线性(叠加)
f1(t) F1(s) f2(t) F2(s) K1，K2是常数， 则K1f1(t) +K2f2(t) K1F1(s) +K2F2(s)
例。F(t)=sinwt ,求拉式变换：
ejwt?e?jwt∵sinwt=
2jejwt
11?jwt , e
s?jws?jww 22s?w? sinwt
2． 原函数微分 f(t) F(s) 则
df(t) sF(s) –f(0) dtn?1dnf(t)nn?r?1(r) sF(s)?sf(0) ?ndtr?0 式中f(r)(0)表示f(r)(t)在0?处的值。
3． 原函数的积分 f(t) F(s) 则
?t??F(s)f(?1)(0)? f(x)dx ss(?1)式中f(0)??f(x)dx
??04． 延时(时域平移 )
f(t) F(s ) 则f(t-t0)1(t-t0) e5． S域平移 f(t) F(s) f(t)e?at?st0F(s)
F(s+a)
例。e?atsinwt
w 22(s?a)?ws?a
(s?a)2?w2e?atcoswt
6． 尺度变换 f(t) F(s) 则 f(at)
1sF() aa7． 终值定理
f(t) F(s) ， 当sF(s)在s平面的虚轴以及右半平面上解析（原点除外）， 则limf(t)?limsF(s)。
t??s?08． 初值
f(t) F(s),则有
limf(t)?f(0)?limsF(s)
t?0s??9． 卷积
f1(t) F1(s), f2(t) F2(s) 则有 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 10.复微分
tf(t) ?
dF(s) ds 四． 一些常用函数的拉普拉斯变换表
f(t) ?(t) 1(t) F(s) 1 e?at t sinωt Cosωt n1 s1 s?an! n?1 sw 2 s?w2s 2 s?w2 e?atsinwt w (s?a)2?w2s?a 22(s?a)?w e?atcoswt te?at 1 2(s?a) ten?at n! n?1(s?a)
五． 拉普拉斯逆变换
由F(s)求f(t),采用部分分式展开法求解。将F(s)分解成简单分式之和的形式， 从拉式变换表中找出原函数f(t)。 设
N(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0?F(s)= nn?1D(s)ans?an?1s???a1s?a01． D(s)=0的所有根是单根s1,s2,….,sn,将F(s)展成： F(s)=
KnK1K2,其中 ????s?s1s?s2s?snKi =lim(s-si)F(s), 由s?siKi Kiesit，则有 s?siｆ（ｔ）＝Ｋ１e例 F(s)?s1t?k2es2t???Knesnt
s?4 求f(t)
s(s?1)(s?2)? Ｄ（ｓ）＝０由ｓ１＝０，ｓ2＝－１，ｓ3＝－２．
∴ F(s)?KK1K2??3 ss?1s?2K1?sF(s)s?0?2， K2?(s?1)F(s)s??1??3 K3?(s?2)F(s)s??2?1
F(s)?231?? ss?1s?2 f(t)?2?3e?t?e?2t （t?0） 若 ｍ＝ｎ，Ｆ（ｓ）分解成
F(s)?K?N0(s)（真分式） D(s)N0(s)
按上述方法计算。 D(s)
而 Ｋ?K?(t)，
２．Ｄ（ｓ）＝０具有共轭复根，采用配方的方法求解。 例 F(s)?解：F(s)?s?2，求f(t). 2s?2s?2s?2s?2(s?1)?1 ??s2?2s?2(s2?2s?1)?1(s?1)2?12s?11 ?2222(s?1)?1(s?1)?1?t =
则有f(t)=ecost?esint (t≧0) 3.D(s)=0有重根
设F(s)具有m重根 ，分解成下列形式，
?tF(s)?K1mK11K12N(s) ?????mmm?1s?s1(s?s1)(s?s1)(s?s1)其中
K11?lim(s?s1)mF(s)
s?s1K12?limd(s?s1)mF(s)
s?s1ds………………………….
K1m利用
1dm?1?lim(s?s1)mF(s) m?1s?s1(m?1)!dsKKtm?1s1t e 求出f(t) m(m?1)!(s?s1)六． 习题
1． 求下列函数的拉普拉斯变换：
a.
?(t)?e?3t
t?tb. e?e c. sin2t+3cos2t d. 2 - e e. e?2t?tcost
f. te
2． 用延时性质求下列信号的拉普拉斯变换
a.
1
t t0 b.
1
t t0
?t
c.
1
t 1 3
3．已知 F(s)?4 ，求 f (t) ，f（0） ，f(?) 。
s(s?2)4. 求下列函数的拉普拉斯反变换
s?1 2s?5s?61b.F(s)?2
s?4s?5a.F(s)?c.F(s)?
4 2s(s?2)