三点共线经典题型（更新）
例1
如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得
AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．
分析
由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF
由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD．
解答：
证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM， ∵GHM分别为BD，AC，EF的中点，
∴MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF ∵GT∥CD，HT∥AB，GT=0.5CD，HT=0.5AB， ∴GT∥HS，HT∥SM
∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，
∴∠TGH=∠THG， ∴GT=TH， ∴AB=CD．
例2
如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若
直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．
分析
求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证
解答连接PD，DQ，
由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°， ∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ． ∴PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC ∴AC2=PA?QC，又AC=AD=DC．
∴PA/DC=AD/QC，又∠PAD=∠DCQ=60°， ∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．
∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°， ∴P，D，Q三点共线． 本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．
例3
如图，△ABC内接于圆⊙，点D是圆⊙上异于A、B、C三点的任意一点，
过D点作DP⊥AB，DQ⊥BC，DR⊥AC，交AB、BC、AC分别为P，Q，R． （1）求证：∠BDP=∠CDR；
（2）求证：P，Q，R三点共线．
分析
（1）由已知中四边形ABDC为圆内接四边形，根据圆内接四边形性质，我们易得∠DBP=∠DCP，结合已知中DP⊥AB，DR⊥AC，根据等角的余角相等，即可得到答案．
（2）由已知中DP⊥AB，DQ⊥BC，可判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，同理可得∠RQC=∠RDC，结合（1）中结论，我们易证明∠PQD+∠RQD=180°，进而得到P、Q、R三点共线．
证明：（1）由已知可得四边形ABDC为圆内接四边形
则∠DBP=∠DCP
又∵DP⊥AB，DR⊥AC，
∴∠BDP=90°-∠DBP，∠CDR=90°-∠DCP； ∴∠BDP=∠CDR；
（2）∵DP⊥AB，DQ⊥BC， ∴P、D、Q、B四点共圆 ∴∠PQD=∠PBD
同理可得∠RQC=∠RDC ∵∠PBD+∠RDC=90°
∴∠PQD+∠RQD=90°+∠CQD=180° 故P、Q、R三点共线
本题考查的知识点是圆内接四边形的判定与性质，其中根据已知条件判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，并同理得到∠RQC=∠RDC，是证明三点共线的关键．
例4已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q
是AB上一点，CP=BQ，PM与QN的交点为R．求证：R，A，C三点共线．
分析
延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，易证PN=NT，PC=CT，进而根据O是MN的中点所以R，C，O三点共线、A，O，C三点共线，可以证明R，A，C三点共线．
证明：延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，
∵∠BNQ=∠CNT，BN=CN，∠NBQ=∠NCT， ∴△BNQ≌△CNT（ASA）， ∴CT=BQ=CP，
∴PN=NT，PC=CT， ∵MN∥CD， ∴MO=ON
∴O是MN的中点所以R，C，O三点共线， 又A，O，C三点共线，所以R，A，C三点共线
本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中求证R，C，O三点共线是解题的关键．
例5如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向
∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．
分析
根据AE平分∠BAC，M为弦BC的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EG∥OA，DG∥OA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线．
证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，
则OD⊥BC，弦BC=弦CM ∴A、E、M三点共线，
又AE、AF是∠A及其外角平分线， ∴AE⊥AF，
∵HE⊥AE，HF⊥AF，
∴四边形AEHF为平行四边形，
∴AH与EF互相平分，设其交点为G， 于是，AG=0.5AH=0.5EF=EG ∵OA=OM，OD∥AH，
∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE， ∴EG∥OA ①
又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC， ∴OD=0.5AH=AG，
∴四边形AODG为平行四边形， ∴DG∥OA，②
由①②可知，D、E、G三点共线， 而F在EG上，
∴D、E、F三点共线．
本题考查了三角形外接圆的性质在证明三点共线问题中的运用．关键是利用平行
线，圆周角定理，垂径定理证明三点共线．
例6 四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的
延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。 FA证 如图。
DG连接PQ，并在PQ上取一点M，使得
CB，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一BQ(E')E交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如
MQE2=QM·QP=QC·QB ① ∠PMC=∠ABC=∠PDQ。
从而C，D，Q，M四点共圆，于是
PM·PQ=PC·PD ②
P由①，②得
PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB， 即PQ2=QC·QB+PC·PD。
易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有
PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2，
即PE’·PF=PQ2-QF2。又
PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)
=PF·(PG－GF)，
从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。 所以P，E，F三点共线。
例7 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，
BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。 D
K AC
证 连AK，DG，HB。 E由题意，ADECKG
∴四边形AKGD是平行四边形 ∴AKDG
同理可证AKHB。
∵四边形AHBK是平行四边形 ∴对角线AB，KH互相平分
又∵C是AB中点，线段KH过C点 故K，C，H三点共线。
GBHF