第9章 波动光学
9-1 杨氏双缝干涉实验中，两缝中心距离为0.60mm，紧靠双缝的凸透镜的焦距为2.50m，屏幕置于焦平面上。
（1）用单色光垂直照射双缝，测得屏上条纹的间距为2.30mm。求入射光的波长。 （2）当用波长为480nm和600nm的两种光垂直照射时，问它们的第三级明条纹相距多远。
解 （1）杨氏双缝干涉的条纹间距Δx?故入射光的波长
D?， d ??dΔx?5.50?10?7m?550 nm Dk?0,1,2,?
D3(?2??1)?1.50?10?3 m?1.50 mm d（2）当光线垂直照射时，明纹中心位置x??Dk?d?1和?2两种光的第三级明纹相距
?? x3?x39-2 在杨氏双缝干涉实验中，若用折射率分别为1.5和1.7的二块透明薄膜覆盖双缝（膜厚相同），则观察到第7级明纹移到了屏幕的中心位置，即原来零级明纹的位置。已知入射光的波长为500nm，求透明薄膜的厚度。
解 当厚度为e，折射率为n1和n2的薄膜分别覆盖双缝后，两束相干光到达屏幕上任一位置的光程差为
??(r2?e?n2e)?(r1?e?n1e)?r2?r1?7?
对于屏幕中心位置有r2?r1，
两束相干光到达屏幕中心位置的光程差为 ??(n2?n1)e?7? 故薄膜厚度
e?
题9-2图
7??1.75?10?5 m?17.5 nm n2?n1第零级明纹移动到了第七级明纹的位置
??(r2?e?n2e)?(r1?e?n1e)?0 r2?r1?7?9-3 一束波长为600nm的光波与一束波长未知的光波同时照射到双缝上（缝间距未知）。观察到波长已知的光波在屏上的第四级干涉明纹，恰与波长未知光波的第五级干涉暗纹重合。求未知的波长。
解 屏上明暗纹重合处同时满足双缝干涉的明纹条件??k1?1和暗纹条件??(2k2?1)式中，k1?4，k2?5，故
4?1?(2?5?1)?22
?22
解得
?2?8?1?533 nm 99-4 楔形玻璃片夹角θ=1.0×10-4 rad，在单色光垂直照射下观察反射光的干涉，测得相邻条纹的间距为0.20cm。已知玻璃折射率为1.50，试求入射光的波长。 解 相邻明纹（或暗纹）对应的薄膜厚度差为 Δl?sin??ek?1?ek?解得
?2n
??2nΔl?sin??2nΔl???600 nm
9-5 在半导体元件生产中，为测定硅（Si）片上二氧化硅（SiO2）薄膜的厚度，将该膜削成劈尖形。已知SiO2折射率为1.46，Si的折射率为3.42。用波长?=546.1nm的绿光照明，观察到SiO2劈尖薄膜上出现
题9-5图
7条暗纹，且第7条在斜坡的起点P，问SiO2薄膜厚度是多少？ 解 光线在SiO2劈尖薄膜上、下表面反射时均存在半波损失，因此两反射光线光程差??2ne， 其暗纹条件为
??2ne?(2k?1)?2k?0,1,2,?
第7条暗纹对应的k?6，解得 e?(2k?1)
?4n?13??1.22?10?6 m
4?1.469-6 波长为624nm的光波垂直入射到一个张在竖直环上的肥皂膜（n=1.33）上，求使反射光干涉加强的薄膜的最薄处的厚度。
解 光在空气与肥皂膜界面上反射时有半波损失，在肥皂膜与空气界面上反射时无半波损失，因此两反射光线的光程差 ??2ne?反射光干涉加强的条件是 ??2ne?要使膜厚最薄，k应取1，则肥皂膜厚度最小值e?
9-7 用干涉计量术测量细丝直径是将待测细丝放在两块光学平的玻璃板一端，两板间形成劈尖状空气薄膜。已知玻璃板长度L=28.88mm。现用波长?=589.3nm的单色光垂直照射，用读数显微镜测得31条明纹间的距离是4.443mm。求细丝直径d。 解 已知31条明纹的间距Δl?4.443mm 31条明纹对应的薄膜厚度差
Δe?ek?30?ek?30?
题9-7图
?2
?2?k?k?1,2,3,?
1??(??)??117 nm 2n24n?2n?15?
根据几何关系有 tan??因θ很小，故sin??tan?，于 是有
dΔe，sin??
ΔlLΔed? ΔlL解得细丝直径
d?LΔe15?L??5.746?10?2 mm ΔlΔl9-8 利用劈尖空气薄层所形成的等厚干涉条纹，可以
检测精密加工工件表面的质量。将标准平面A放在待测平面B上，如图9.8所示，形成劈尖薄膜。用单色光垂直照射，在显微镜下观察到干涉条纹如图所示。试说明工件表面缺陷情况，并证明凹凸纹深度h和条
b?纹的偏离距离b（题9.8图）有关系式h??，式中题9-8图
l2l为相邻明纹（或暗纹）的间距。
解 同一条等厚干涉的条纹对应相同的空气薄膜厚度。按题图，越靠左的条纹对应的薄膜厚度越薄，所以当条纹凸向左侧时，意味着与凸纹对应的位置的膜层厚度比原先（无缺陷时）该位置的膜层厚度厚了，即工件表面出现凹槽。
已知相邻明纹（或暗纹）的间距为l，对应的薄膜厚度差Δe?对应的凹槽深度为h。
存在比例关系 证得
?2。若条纹左偏距离为b，则
Δeh? lbb?? l2 h?9-9 将一滴油（n2=1.20）放在平玻璃片（n1=1.52）上，以波长?=600nm的黄光垂直照射，如图所示。求从边缘向中心数，第5个亮环处油层的厚度。
解 （1）入射光线在油膜上、下两个表面反射时均存在半波损失， 两反射光线的光程差 ??2n2e，
其明纹公式 2n2e?k?，k?0,1,2,? 边缘处e=0，是明环，因此从边缘向中心数，第5个明环对应的k=4，
k?故 e??1.0?10?6(m)
2n2
9-10 如图所示，一半径1.0m的凸透镜（n1=1.50）放在由火石玻璃（n3=1.75）和冕牌玻璃（n4=1.50）拼接的玻璃平板上。在透镜和玻璃平面间充以折射率n2=1.65的二硫化碳液体。当用波长589nm的钠黄光垂直照射时，（1）试定性画出干涉图样；（2）求出中心点除外，向外数第10个暗环对应的膜厚。
解 （1）干涉条纹是一组同心圆环（如右图），内疏外密，明暗相间且左右相反，中心处左侧为暗斑，右侧为亮斑。。
（2）在透镜左半边，入射光线在液膜上表面反射时存在半波损失，在下表面反射时不存在半波损失。
题9-9图
题9-10图（1）
题9-10图（2）
两反射光线的光程差 ??2n2e?其暗纹公式 2n2e??2，
?(2k?1) k?0,1,2,? 22在中心点e=0处为暗斑，向外第10个暗环的k=10，
10?对应的膜厚 e左10??1.78?10?6 m
2n2在透镜右半边，入射光在液体膜上、下表面反射时均存在半波损失， 两反射光线的光程差 ??2n2e，
其暗纹公式 2n2e?(2k?1) k?0,1,2,?
2在中心点e=0处为亮斑，故第10个暗环的k=9，
19?对应的膜厚 e右10??1.70?10?6 m
4n2
9-11 如图所示，在折射率为1.50的平晶玻璃上刻有截面为等腰三角形的浅槽，内装肥皂液，折射率为1.33。当用波长为600nm的黄光垂直照射时，从反射光中观察到液面上共有15条暗纹。（1）试定性描述条纹的形状；（2）求液体最深处的厚度。 解 （1）干涉条纹是明暗相间等间距的平行直条纹。 （2）入射光线在液膜上、下表面反射时均存在半波损失， 暗纹条件为
??2ne?(2k?1)题9-11图
???k?0,1,2,?
2由于共有15条暗条纹，正中央液体最深处必为暗条纹，对应的k=7，
(2k?1)?其厚度 emax??1.69?10?6 m
4n
9-12 在牛顿环实验中，透镜的曲率半径为5.0m，而透镜的直径为2.0cm。假设入射光波长?=589nm，试问：（1）可以观察到多少个环形干涉亮纹？（2）如果把整个装置浸没在液体中（n=1.33），又能观察到多少个干涉条纹？ 1解 （1）牛顿环亮环半径为 r?(k?)R?2k?1,2,?
?亮环的最高级次
kmaxr21???34.5，kmax?34 R?2所以可以观察到34个环形干涉亮纹。 （2）如果把整个装置浸没在液体中，波长变为亮环的最高级次
? nnr21???45.7，kmax?45 R?2 kmax此时可以观察到45个环形干涉亮纹。
9-13 一牛顿环实验装置，平凸透镜的曲率半径为120cm，波长为653nm的红光垂直入射。请计算第三级明圆环的直径。
解 第三级亮环半径为 直径为
1 r?(3?)R??1.40?10?3m
2 d?2r?2.80?10?3m
9-14 在照相机镜头表面镀一层折射率为1.38的增透膜，使太阳光的中心波长550nm的透射光增强。已知镜头玻璃的折射率为1.52，问膜的厚度最薄是多少？
解 入射光在增透膜上、下表面反射时均有半波损失，两反射光线的光程差??2ne。为使透射增强，必须使反射光满足干涉极小的条件 2ne?(2k?1)当k?0时膜层最薄，解得
9-15 在玻璃（n=1.50）表面镀一层折射率n=1.29的透明介质膜，为使波长?=600nm的入射光反射最小，试计算膜层的最小厚度。
解 入射光在介质膜上、下表面反射时均有半波损失。 两反射光线的光程差 ??2ne， 反射光干涉极小的条件是
2ne?(2k?1) emin? emin??2k?0,1,2,?
?4n?9.96?10?8 m?99.6 nm
?2k?0,1,2,?
k?0时薄膜最薄，解得
?4n?1.16?10?7 m?116 nm
9-16 平板玻璃上有一层厚度均匀的肥皂膜。在阳光垂直照射下，在波长700nm处有一干涉极大，而在600nm处有一干涉极小，而且在这两极大和极小间没有出现其他的极值情况。已知肥皂液折射率为1.33，玻璃折射率为1.50，求此膜的厚度。
解 入射光在肥皂膜上、下表面反射时均有半波损失，两反射光线的光程差??2ne。由于在已知的两个极大和极小间没有其他的极值情况，因此两者k值相同， 对λ1干涉极大，有 2ne?k?1 对λ2干涉极小，有 2ne?(2k?1)解得条纹级次 所以肥皂膜的厚度
9-17 迈克耳孙干涉仪可用来测定单色光的波长。当将一个反射镜平移距离?e=0.3220mm时，测得干涉条纹移过1024条，试求该单色光的波长。
解 对反射镜平移距离?e前后两光路的光程差进行比较，变化量为Δ??2Δe?N? 解得波长
9-18 用波长?=500nm的平行光垂直入射单缝，若第一级暗纹的衍射角为30?，求单缝的缝
??
k?
?22?
600?3
2(?1??2)2?(700?600)k?3?700 e?1??790 nm
2n2?1.33?22Δe?6.289?10?7 m?628.9 nm N