维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 1.1 单元内部的温度插值函数
设三角形单元e上的温度Te是x，y的线性函数，即
eeeTe?a1?a2x?a3y 1 ee其中：a1e,a2为待定系数 ,a3将节点坐标及温度代入得
ee?Tie?a1e?a2xi?a3yi?eeee?Tj?a1?a2xj?a3yj ?Te?ae?aex?aey12m3m?m写成矩阵形式：
?1xi?1xj???1xmyi??a1e??Tie??e??e?yj??a2???Tj? ??e??e?ymi???a3??Tm?ee利用矩阵求逆的方法，可以解出待定系数a1e,a2 ,a3?a1e??aie?e?1?e?a2???bi2??ae??cie?3??aejbejceje??Tie?ame??e?bm??Tj? 2 e?e???Tm?cm?式中：?为三角形单元的面积，其值为
11xj21xm1xiyiyj ymi??（为了使面积不为负值，故要求节点的局部序号i,j,m必须按逆时针方向排列）
e?aie?xjym?xmyj,ae?j?xmyi?xiym,am?xiyj?xjyi??e ?bie?yj?ym,be? j?ym?yi,bm?yi?yjeee??c?x?x,c?x?x,c?x?ximjjimmji??将<2>式代入<1>式，得
eeTe?a1e?a2x?a3y??1x?a1e??e?y??a2? ?ae??3? ?1?1x2??aie?y??bie?cie?aejbejceje??Tie?ame??e?bm??Tj? e?e???Tm?cm??Tie?1?e?eeeeeeeee ???a?bx?cya?bx?cya?bx?cyiiijjjmmm??Tj?2???Te??m?1eeeeeeeeeeee??<3> (a?bx?cy)T?(a?bx?cy)T?(a?bx?cy)Tiiiijjjjmmmm??2?上式通常可以简写成
?eeeTe?NieTie?NejTj?NmTm
e??Ni?Nej?Tie?eee?e? ?NmT?NT??????j??Te??m?1e?eeeN?(a?bx?ciiy)?i2?i??Tie??Ne?1(ae?bex?cey)jje?j2?j??式中 ?,?T???Tje?
1e?e?Te?eeN?(a?bx?cy)?m?m?m2?mm?eeee??N?NNN???ijm???eNie,Nej,Nm称为形状因子，形状函数或简称形函数。
1.2 单元边界上的温度插值函数
〈4〉式适用于整个单元区域，对于单元边界当然也是适用的，但是，根据线性
e插值的概念，既然单元边界jm上两节点的温度分别为Tje和Tm，那么直线jm上e任意一点的温度Te应在Tje和Tm之间呈线性变化，而与Tie无关，这样在边界上就
可以构造一个更加简单的插值函数
eTe?(1?g)Tje?gTm
式中g为一参变量，g?[0,1]；g=0对应于节点j，g=1对应于节点m。 1.2 边界弧长（积分变量）s与参变量g的关系
显然jm的边长Sie是一个已知数
Sie?(xj?xm)2?(yj?ym)2?(bie)2?(cie)2 而曲线积分中的边界弧长变量s与Sie间的关系可利用g联系起来 s?Sie?g?(0)
无穷小ds?Sie?dg?高阶无穷小?Sie?dg
2. 单元变分运算（即普通多元函数偏导数计算） 2.1 二维稳态温度场单元变分计算
（实际上可理解为偏导计算，因为用温度插值函数代泛函以后，泛函实际上已经成为一个普通多元函数）
2.1.1第三类边界单元变分计算
e2e2??k??T???T??1ee2e?Jb[Te(x,y)]??????dxdy?h(T)?hTT???ds <1> ????jm?22?x?y???????e???（我不成熟的理解：泛函表达式的第二部分原来也是对整个单元的面积分，但是被积函数只有在边界上才有非零值，所以转换成了边界的线积分）
泛函表达式的第二部分,对整个求解区域而言，边界一般是封闭的，记作“?；然而对某个单元而言，边界一般是不封闭的，记作“??”
ee?JbT??x,y???实际上变成了普通多元函数
jm”。
将三角形单元内部的插值公式以及边界上的插值公式代入泛函，泛函
eJb?Tie,Tje,Tme????f(x,y,Tie,Tje,Tme)dxdy
eeee?Jb?Jb?Jb求e，e，e可以采用两种方法：
?Tj?Ti?Tmeee?Jb?Jb?Jb(1) 先将插值公式代入<1>式，然后再求e，e，e
?Tj?Ti?Tme2e2??????k?T?T?1eee2e??dxdy?h(T)?hTT?? Jb[T(x,y)]????????ds <1> ????jm2???x???y???2?e?? 单元内部插值函数：
1eeeeeeeeeeee??Te(x,y)?(a?bx?cy)T?(a?bx?cy)T?(a?bx?cy)T iiiijjjjmmmm??2? 单元边界插值函数：
eTe(x,y)?(1?g)Tje?gTm
积分变量的转换：
ds?Sie?dg g?[0,1]
k?11eeeeeeeeee2eeeeee2?T,T,T?bT?bT?bT?cT?cT?c?Jb?ijm???2?jjmm?jjmTm??dxdy 2?ii2?ii4??4??e1?1ee2ee?e??????h?(1?g)T?gT?hT(1?g)T?gT?Sidg jm?jm???02???e?Jbk? e?2?Ti8?????2?bTeeeiieeeeeeeeeee??bejTj?bmTm?bi?2?ciTi?cjTj?cmTm?ci?dxdy
?k4?2?????(b)ee2ieeeeeeeeeee?(cie)2??Ti??bibj?cicj?Tj??bibm?cicm?Tmdxdy
??ke2e2eeeeeeeeeee??(b)?(c)T?bb?ccT?bb?ccT????iiijijjimimm?i4?2?????dxdy
e??dxdy??ke2e2eeeeeeeeeeee?? ??(b)?(c)T?bb?ccT?bb?ccT??????????????iiiijijjimimm?4????k?11eeeeeeeeee2eeeeee2?JbT,T,T?bT?bT?bT?cT?cT?c?ijm???2?jjmm?jjmTm??dxdy 2?ii2?ii4??4??e?1ee2ee?e?????h?(1?g)Tj?gTm??hT(1?g)T?gT?Sidg ??jm???02??1接下去，重点看下列推导过程的后半部分。
e?Jbk? e?2?Tj8?????2?bTeeeiieeeeeeeeeee??bejTj?bmTm?bj?2?ciTi?cjTj?cmTm?cj?dxdy
?hS ?ei????(1?g)T10eeijeje??gTm?(1?g)?T?(1?g)dg
?k4?2????bbeee2e2eeeeee?ciecej?Ti???(bj)?(cj)??Tj??bjbm?cjcm?Tmdxdy
??hS ?ei????(1?g)T120eje??g(1?g)Tm??T?(1?g)dg
??keeee2e2eeeeee??biebe?ccT?(b)?(c)T?bb?ccT????jijijjjjmjmm ??4??????hS ?ei????(1?g)T1201eje??g(1?g)Tm??T?(1?g)dg
keee2e2eeeebiebe(beTje??be?j?cicj?Ti??j)?(cj)?jbm?cjcm?Tm ??4??hSei????(1?2g?g02e?)Tje?(g?g2)Tm??T?(1?g)dg
? ?k4???bebe?ceee?(be)2?(ce2eeeeiicj?Ti??jj)??Tej??bejjbm?cjcm?Tm? ?hSe1i?0??(Tee2eeej?Tm)g?(Tm?2Tj?T?)g?(Tj?T?)??dg ?k4???beeee???e2e2ibej?cicj?Ti(bj)?(cj)??Tej??bejbem?cejcem?Tem? ?hSe?1e1ee?i??3(Tej?Tm)?2(Tm?2Tj?T?)?(Tej?T?)??
?k4???beeeeee2e2eeeeeeibj?cicj?Ti???(bj)?(cj)??Tj??bjbm?cjcm?Tm? ?hSe?1e1e1?i??3Tj?6Tm?2T????keeeee?kehSei?e4??b2e2ibj?cicj?Ti???4???(bj)?(cj)???3??Tj?kee???4??bebeeehSi?ehSijm?cjcm??6??Tm?2T? 同理：
?Je?Te???bce?kebkeeeeeeeehSi?eibm?icm?Ti???4?(bjbm?cjcm)?6??Tjm4???k?4???(be2hSei?ehSee2im)?(cm)???3?Tm?2T? ?写成矩阵形式
?e??Jb???Te?i???kekeijim??Tei??pei???Jb????keeiieke??Te??jjke??jmj??kji???Te??e?eeej???pj???K??T???P? <2> ke?kemjke??Temm??m????pem????Jeb??mi??Te??m??其中