?ehSiee2e2ee2e2?kii????(bi)?(ci)??,kjj????(bj)?(cj)???3?hSie?ee2e2?(bm)?(cm)???3?kmm????eeeeee?kij?kji???bibj?cicj??eeeeee?kim?kmi???bibm?cicm?? hSie?eeeeee?kjm?kmj???bjbm?cjcm??6??ne?ne?ne??c?jjmm?ii6??c?eeee?nij?neji?nim?nmi?nejm?nmj?12??hSiekeeeT?,???pi?0,pj?pm??24?由上可见，非稳态温度场的变分结果与稳态温度场基本相同，仅增加了一项
?T??N????而已。
??t?ee
2.2.2 内部单元变分计算 （略）
六、总体合成
6.1 总体合成的原理
（结合教材p129图4.9讲解）
三角形单元的温度插值函数为
?e(x,y)?NeTe?NeTe?NeTeT
iijjmme将三角形单元的温度插值函数代入单元体泛函，则泛函Je?T??x,y???实际上变质
为普通多元函数
eJe?Tie,Tje,Tm????f(x,y,Tie,Tje,Tme)dxdy
e同理，若整个求解域包含n个节点，则定义在整个求解域上的温度插值函数
可以写作
?(x,y)?NT?NT?NT???NT?NT T?ll112233nnl?1n将定义在整个求解域上的温度插值函数代入关于整个求解域的泛函，则泛函
JD??T?x,y???实际上变质为普通多元函数
JD?T1,T2,?,Tn????f(x,y,T1,T2,?,Tn)dxdy
eD所以泛函JD?（或者说普通多元函数JTx,y??T1,T2,?,Tn?）取极值的条件为 ?????JD?0，l?1,2,?,n；即节点的全局序号 ?Tl 由于定义整个求解域的泛函是各单元体泛函之和；而且，定义在整个求解域上的温度插值函数，其待定系数Tl,l?1,2,?,n是各单元体的顶点（节点），所以
E?JD?Je???0，l?1,2,?,n；即节点的全局序号 ?Tl?Te?1l注意：
①因为我们只要求定义整个求解域的泛函JD??T?x,y???取极值，并没有要求单元
?Je不要求体泛函也取极值，所以????0；
?Tl??Je??T=0,节点l不在单元e上e?J?l不要求????0?e② ?Tl?J??0,节点l落在单元e上???Tl所以总体合成的主要任务就是找出节点l究竟落在哪些单元体e上，节点的
全局序号l如何与各相关单元体e的局部编号i,j,m一一对应。
6.2 无内热源二维稳态温度场的总体合成
现以图4.9中的节点3为例来说明总体合成过程
??J③③③③③③③?③?kjiTi?kjjTj?kjmTm??Tj???④DeE?J?J??J④④④④④????④?k④?k④jiTijjTj?kjmTm?pj ?T3e?1?T3??Tj?????J⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤?kT?kT?kT?pmiimjjmmmm??T⑤?m
6.2.1 总体合成结果
无内热源二维稳态温度场三角形边界单元变分结果
e???Jb?e???Ti??keiie????Jb??e?e???kji??Tj??ke??Je??mi?be???Tm???ekijkejjekmje??Tie??pie?kimeee??e??e? keT?p?KT?P???????j?jm??j?ee??pe???kmmTm????m?类推，无内热源二维稳态温度场总体合成矩阵方程
??JD???T??1??kk?k1n??T1??p1???JD??1112????????k21k22?k2n??T2??p2???T2?????????K??T???P??0
??????????????????????kk?kn1n2nn???Tn??pn?D??J???T??n?
6.2.1 系数矩阵（包括温度刚度矩阵及其他系数矩阵）的建立方法
??J③??J③③③③③③③?③?kjiTi?kjjTj?kjmTm?③?k32T2?k33T3?k35T5?T?j??Tj?????④?④D?J??J??J④④④④④④??④?k④?T?kT?kT?p?④?k35T5?k33T3?k36T6?p3 jiijjjjmmj?T3??Tj??Tj??????⑤??J??J⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤??T⑤?kmiTi?kmjTj?kmmTm?pm??T⑤?k32T2?k37T7?k33T3?p3?m?m
规律：
编号小的单元，影响总体刚度矩阵中左上角部分；
任意节点i和节点j若不在一个单元（i，j表示节点的全局序号），则总体刚度矩阵中的元素kij=0；
与节点i相邻的节点数量越多，则总体刚度矩阵i行中非零元素个数越多。 相邻节点的全局序号越接近越好（实际上严格来说，并不特别要求构成一个单元的所有节点的全局序号很接近，只不过两种要求产生的效果是相同的）。 6.3 无内热源二维非稳态温度场的总体合成
无内热源二维非稳态温度场三角形边界单元变分结果
e???Jb?e???Ti??keiie????Jb??e?e???kji??Tj??ke??Je??mi?be????Tm??ekijkejjekmjee??Tie??niikim??e??ekejm??Tj???njiee????ekmm??Tm??nmienijnejjenmj??Tie???t?enim??e??pie??e?e???Tj?njm?????pj??tee???e??nmm???T??pm?m??t???
??K??T?eee??T???N?????P?
??t?ee
类推，无内热源二维非稳态温度场总体合成矩阵方程
??JD???T1???T???t??1??kk?kTnn?n?????1n111121n???p1???JD??1112???????T2??p????k21k22?k2n??T2??n21n22?n2n????2????T?t?2?????????0
???????????????????????????????kk?kTnn?n???pn??n1n2nnnn1n2nn?????T??D??J??n???T????t???n?记作：
?K??T???N???对于某一特定时刻，上式可写成
?T????P??0 ?t???K??T?t??N???如果边界条件恒定，则
?T????P?t?0 ??t?t?P?t??t??P?t??P?t??t??
??T?
将??用后向差商展开 ??t?t
??T??T?t??T?t??t ????t??t?t?T1T1t?T1t??t例如：??tt?t
无内热源二维非稳态温度场总体合成矩阵方程，后向差商展开形式
11??T??? ??K???N???T?t??N?????P?t?t?t??t?t??t??
七、加权余量法