例说数学期望与方差的实际应用
【摘要】 数学期望作为概率分布中重要的数字特征之一，反应的是随机变量取值的平均水平，方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度。利用概率论中数学期望与方差的思想可以计算出实际生活中的许多问题的最大可能值以及该事件发生的偏差的大小，从而为实际决策提供更具体的参考。 [关键词] 数学期望 方差 最佳决策
数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度。现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案。 在当前社会生产中，更多商家等追求的是效益最大化，以下我将就现实生活中的种种问题，利用离散型随机变量的期望和方差的思想对实际问题进行分析计算，并通过各个方案的比较得出最佳方案。首先介绍一些基本概念知识： （1）概率分布
设离散型随机变量为?i，（i=1,2,3，、、、，ｎ，、、、，），离散型随机变量的概率为Ｐ
i，其概率分布如下：
? ?1 ?2 ?3 ?1 ?2 … ?n ?n … … ? ?3 …
（1）数学期望
根据（1）的概率分布，即Ｐ（ξ=?i）=?i，i =1,2，…，n,…,称和数??i?ii为随机变量?的数学期望，简称期望，记作E(?)，则E(?)=?1p1+?2p2+…+?npn+…。 （3）方差
由（2）推出数学期望E（?）存在时，如果E[?-E(?)]2存在，则称E[?-E(?)]
2为随机变量?的方差，记为D(?),有
D(?)=E[?-E(?)]2=E(?2)-E2(?)。
1、数学期望与方差在投资风险程度分析中的应用
在市场经济条件下，要想获得较高的期望收益，必须把资金投向几种不同的
收益不同风险的金融资产上，而这将为投资者选择投资方案提供一定的理论依据和数字参考，以便于投资者选择可行的投资决策方案。下面以两个例子进行说明： 例1、某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态:形势好(获利40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元)。如果存入银行,假设年利率8%,即可得利息8000元。又设经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者应该选择哪一种投资方案?
分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关，因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算两种方案对应的收益期望值来进行判断。
解：设?1为购买股票收益，?2为存入银行收益， 购买股票： 状态 收益?1 概率 经济形势好 40000 0.3 经济形势中等 10000 0.5 经济形势不好 -20000 0.2 E（?1)=40000×0.3＋10000×0.5－20000×0.2=13000， D (?1)=4.41×108， 存入银行： 状态 收益?2 概率 经济形势好 8000 0.3 经济形势中等 8000 0.5 经济形势不好 8000 0.2 E（?2）=8000×0.3＋8000×0.5＋8000×0.2=8000 D（?2）=0
由计算结果表明， E（?2） 2、数学期望与方差在经济决策中的应用 数学期望与方差在诸多经济管理或决策中的应用是指从数量上研究随机现象统计规律性的思想，企业家们往往是在考虑各种影响因素发生的概率下实施某种方案以达到最佳效果。 例 ： 某企业需要就是否与一家外企联营做出决策，经过调查做出评估，联营成功的概率为0.35，若联营成功可增加利润50万元/月；若联营失败将损失20万元/月；若不联营利润不变。企业该如何决策？ 解：用X表示选择联营能增加的利润值，则X 的概率分布为 P(X=50)=0.35，P(X=－20)=0.65， 所以，选择联营能增加的利润期望值为E(X)=50×0.35＋(－20)×0.65=4.5，D(X)=1135， 若不联营，增加的利润为零， 因此，该企业应该作出联营的决策。 3、数学期望与方差在销售利润问题中的应用 在销售行业中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化, 供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道 的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望和方差的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。 例1、某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获经济效益2万元，商场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得经济效益10万元。9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40％。商场应该选择哪一种促销方式？ 分析：因为天气有雨或无雨是一个不确定的因素，因此作出决策时要存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好效益，但必须使效益的期望值是最高的。如果选择商场外促销方式恰逢天气有雨，则带来经济损失4 万元，比商场内促销可获得经济效益2万元更不合算，这就是风险，这样的决策称为风险决。 解：设商场为促销活动获得的经济效益为ξ万元，则 Ｐ(ξ=10)=0.6, Ｐ(ξ=－4)=0.4, ∴E(ξ)=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4(万元) 综上可知,商场外促销方式可获得经济效益的数学期望4.4 万元,高于场内促销可获得经济效益2万元,故应选择商场外促销方式。 4、数学期望与方差在委托售后服务问题中的应用 人们购买商品不仅要求质量，还要看售后服务，企业对售后服务的支出是必不可少的。企业的售后服务通常是委托给各地的维修部，那么如何选择与维修部签订售后服务合同，是企业要考虑的问题。 例1、 某家电企业经调查预计明年向某地销售3000 台洗衣机，计划与当地的一家维修部签订保修合同，委托维修部承包维修业务，保修期一年。该企业与维修部对这批产品的保修有以下两个方案选择： 方案1：维修次数不限，一次性支付总维修费2000 元。 方案2：维修次数少于300次，支付维修费1 000 元；若超过，每增加一次加付维修费5元。 另根据过去的经验及产品的质量情况估计，今后一年内洗衣机可能出现维修的次数及发生的概率为: 维修次数≤ 概率 300 0.5 400 0.25 500 0.1 600 0.07 700 0.03 问企业应选择哪种方案？ 解：若选择方案1，企业将支出维修费2000元。 若选择方案2，则企业支出维修费X 的期望为: E(X)=1000×0.5＋1500×0.25＋2000×0.15＋2500×0.07＋3000×0.03=1440（元）， 可见方案2优于方案1，故该企业应与维修公司签订方案2。 5、数学期望与方差在求职决策问题中的应用 例：有三家公司都为硕士毕业生李宏提供了就职面试的机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A 、B 、C ，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职何种职位或拒绝提供职位。若规定求职双方在面试以后要立即决定提供、接受或拒绝某种职位，且不容许毁约。咨询专家为李宏的学业成绩和综合素质进行评估后认为，他获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2 、0.3 、0.4，三家公司的工资数据如下： 公司 极好 A B C 李宏如果把工资数尽量大作为首要条件的话，那么他在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何对策？ 解：由于面试有时间先后，使得李宏在A、B公司面试，作选择时，还要考虑到后面C公司的情况，所以应先从C公司开始讨论。C公司的工资期望值为： E(C)=4000×0.2＋3000×0.3＋2500×0.4＋0×0.1=2700(元)； 现在考虑B公司，因为B 公司的一般职位工资只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司极好或好的职位，否则就到C公司应聘，如此决策时，他的工资 3500 3900 4000 好 3000 2950 3000 职位 一般 2200 2500 2500