位势理论基础
题目：数学家格林对位势理论的贡献
成员：李文斌、曲以春、李可、陈勃
程桂平、陈双军、王祥、杨波 唐湘凯
班级： 大专二十二班
组号： 第四组
格林(George Green，1793.7.14～1841.5.31) 英国数学家、物理学家。生于诺丁汉郡，卒于剑桥。1833年自费入剑桥大学学习，1837年获学士学位。1839年任剑桥大学教授。他是一位自学成才的科学家。1828年，他写成重要著作《数学分析在电磁理论中的应用》，书中他引入了位势概念，提出了著名的格林函数与格林定理，发展了电磁理论。格林的工作基本上是处于隔绝状态下独立进行的，他在该文的前言中为他的资料来源有限而抱憾。的确，他只引用了泊松、拉普拉斯、傅立叶、柯西等少数几位作者的工作。文中一开始便强调了位势函数的中心地位。拉普拉斯和泊松等人已经用到过位势函数，但“位势”这一名称是格林首先引入的。之后他发展了位势函数的一般性质并将它应用于电磁学。他在晶体中光的反射和折射等方面有较大的贡献。他还发展了能量守恒定律，得出了弹性理论的基本方程。变分法中的狄利克雷原理、超球面函数的概念等最初都是由他提出来的。他的名字经常出现在大学数学、物理教科书或当代文献中，以他的名字命名的术语有格林定理、格林公式、格林函数、格林曲线、格林算子、格林测度、格林空间等。格林的工作孕育了以汤姆森、麦克斯韦等为代表的剑桥数学物理学派，他是分析引入英国后第一个沿欧洲大陆上的工作方向发展的英国大数学家。
一、 数学家格林在数学界的地位
与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折。勃隆黑德系剑桥大学冈维尔-凯厄斯(Gonville－Caius)学院出身，同时又是剑桥分析学会的创始人之一。他建议格林到剑桥深造，1829年1月，格林的父亲去世，格林获得了一笔遗产和重新选择职业的自由，遂将磨坊变卖，全力以赴为进入剑桥大学作准备。这期间他又完成了三篇论文——“关
于与电流相似的流体平衡定律的数学研究及其他类似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流体介质中摆的振动研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推荐发表．1833年10月，年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门，成为冈维尔-凯厄斯学院的自费生．经过4年艰苦的学习，1837年获剑桥数学荣誉考试(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年获学士学位，1839年当选为冈维尔-凯厄斯学院院委．正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁汉病故。
格林生前长期与磨坊领班W．史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居，但始终未正式结婚．最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算．格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称她为“格林夫人”，他们生有两个儿子、五个女儿．
格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想．
格林是现代位势理论的先驱与奠基人之一．拉普拉斯在引力计
算、泊松在电磁问题中都曾用过这样的函数V，它同力场分量(X，Y，Z)的关系为
拉普拉斯同时指出函数V满足方程
并采用球调和方法来解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都仅适用于特殊的几何形体，因此有必要发展更一般的理论，这正是格林的工作与前人不同的地方．
格林认识到函数V的重要性，并首先引进了“位势函数”这一名称，他在第一篇论文“论数学分析在电磁理论中的应用”中写道： “这样的函数以如此简单的形式给出电荷基元在任意位置受力的数值．由于它在下文中频繁出现，我们冒昧地称其为属于该系统的位势函数，它显然是所考虑的电荷基元P的座标的函数”．
格林接着便发展了位势函数V的一般理论，特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中尤以现用他的名字命名的“格林公式”与“格林函数”最为著名．设有函数U与V，在以曲面σ为边界的区域τ内充分光滑．格林从体积分
出发，应用分部积分法推导得
以上采用的是格林的原始记号，其中dσ为曲面σ的微元，dω为σ的内法线段微元，而
公式(或称格林定理)．用现代记号表示则相当于
格林还进一步探讨了U，V在τ内有奇点的情况，提出格林函数的概念．这是一种带奇性的特殊位势U，满足方程δU=0，且“仅在曲面
的距离”．格林同时假设U在曲面本身上恒等于零．用现代记号表示，格林函数G(r，r′)满足条件：
且有