单级倒立摆经典控制系统
摘 要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本 文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软 件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论
自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论
控 制理论的发展，起于 “经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围 扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于 反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分 析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时 域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆
1.2.1倒立摆的概念
图1 一级倒立摆装置
倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。
常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，其中摆杆可能是一级、两级甚至多级。在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等。 1.2.2研究倒立摆稳定性的意义
倒 立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走就类似倒立摆系统。从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的 稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平
台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机 安全着陆、化工过程控制等。 2单级倒立摆的数学模型 2.1模型的推导原理
建立控制系统的数学模型有两种 基本方法。其一，对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程，合在一起便成为描述整个系统的方程。其 二，人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。主要用于系统运动机理复杂因而不便分析或不可能分析的情况。 系统的建模原则：
1、建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。
2、按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；
3、根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。 倒立摆的形状较为规则，而且是一个绝对不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型。故适合用数学工具进行理论推倒。 2.2单级倒立摆系统描述
小 车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关， 常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统 是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。
图2 单级倒立摆系统的原理图
图 中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在 水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。
2.3单级倒立摆系统数学建模
为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设:①倒立摆与摆杆均为匀质刚体。②可忽略摆与载体，载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力等。 2.3.1结构参数
倒 立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2所示平面内运动。控制力u 作用于小车上。摆杆长度为2L，质量为m，小车的质量为M，小车瞬时位移为x，摆杆瞬时位置为（x+2L*sinθ），在外力的作用下，系统产生运动。假 设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力u，输出为摆角θ。 2.3.2系统的运动方程
图3 小车沿x轴的受力分析 图4 摆的受力分析
小车沿x轴方向的受力分析如图4所示，根据牛顿第二定律得
方程⑴⑵⑶⑷为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有
项，所以为非线性微
分方程组。中间变量不易相消。 2.4单级倒立摆系统模型的线性化处理及传递函数
3单级倒立摆控制系统原理 3.1线性系经统的校正方法 所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为串联校正、反馈校正和复合校正四种。根据被控对象及技术指标要求这里采用串联校正。 3.2基本控制定律
确 定校正装置的具体形式时，应先了解校正装置所提供的控制规律，以便选择相应的元件。包含校正装置在内的控制器，常常采用比例、微分、积分等基本控制规律， 或者采用这些基本控制规律的某种组合，如比例－微分、比例－积分、比例－积分－微分等组合控制规律，以实现对被控对象的有效控制。 比例--微分—微分（P ID）控制定律
具有比例—积分—微分控制规律的控制器，称PID控制器。这种组合具有三种基本控制规律各自的特点，其运动方程为
当 利用PID控制器进行串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点。与PI控制器相比，除了同样具有提高系统的稳态性能的优点外，还多 提供了一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性。因此，在工业过程控制系统中，广泛使用PID控制器。PID控制器各部分参数的选 择，在系统现场调试中最后确定。通常，应使I部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能；而使D部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统 的动态性能。本系统采用即为PID控制器。 3.3PID控制
3.3.1.1PID控制器的结构
所有的PID控制器都有可以分解成给定值控制单元，PID作用单元及手动/自动转换单元等三个主要单元，如图6所示。图中，给定值单元①接收工业控制过程的测量量c，以及控制装置的给定值 。PID作用单元②接受给定值控制单元产生的误差信号e，并按给定控制律算出闭环控制信号 。手动/自动单元③在“自动A位置时，将PID单元的输出信号 送入工业过程，此时工业过程在闭环中受到控制；而在“手动M位置时，把用户直接在控制器上调整手动输出信号 送至工业过程，于是系统采用开环控制方式。
图5 PID控制器原理性结构 3.3.1.2PID控制器的使用