实用PID控制器的传递函数可以表示为
PID单元的原理电路如图7所示。
图6 PID单元原理电路 4单级倒立摆的系统控制器设计 4.1系统的控制校正设计
控制系统的目的是使系统动态稳定，即保持倒立摆在垂直的位置，使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化。由于系统的动态响应主要是由它的极点位置决定的，而假如系统是状态完全能控的，即可使系统得到良好的动态性能。
我们在第2.4节中对单级倒立摆系统模型的进行了线性化并推导出了其传递函数。本课题将采用PID控制法为系统设计控制器。
设原系统小车的质量M＝2.00kg，摆的质量m＝0.20kg，摆长2L=0.80m，重力加速度
4.2利用MATLAB的系统仿真
进入MATLAB的工作环境之后，通过键盘输入MATLAB命令，便可以执行相应的操作了，这与DOS的操作十分接近。如，通过下面的MATLAB程序即可获得G (s)的单位阶跃响应及极零点分布。（见图7）
图7 G (s)的单位阶跃响应及极零点分布 >> s=tf('s') Transfer function: s
>> sys=tf(-1，[1 0 29.6964]) Transfer function: -1
---------- s^2 + 29.7 >> step(sys) >> pzmap(sys)
4.3仿真结果的修正与分析
本实验采用MATLAB软件进行仿真实验，进一步验证了PID控制器中各个参数对系统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结果中进行比较和挑选，同时根据调节时间<3s的设计要求，最后确定PID控制器的各参数分别为：微分时间系数 =1，积分时间系数T =1，比例系数 K =20。则系统的闭环传递函数为（系统的闭环传递函数 的单位阶跃响应为图8）： 20 s^2 + 20 s + 20 ------------------------ s^3 + 23 s^2 + 25 s + 20
图8 的单位阶跃响应 结论
倒 立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论极其应用领域里引起人们极大兴趣的问题。它是检验各种控制理论和方法的有效性的著名实验装置，作为一个高阶、 非线性、不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。 本文以经典控制理论为基础，建立了小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数下的控制器使系统稳定。本实验采用MATLAB软件进行仿真 实验，进一步验证了PID控制器中各个参数对系统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结果中进行比较和挑选，同时根据调节时间<3s的设计要 求，最后确定PID控制器的各参数值，通过MATLAB软件的仿真可知，单级倒立摆的经典控制可以实现。 参考文献
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[5] 从倒立摆装置的控制策略看控制理论的发展和应用.广东工业大学学报，2001,9 [6] MATLAB语言与自动控制系统设计.北京:机械工业出版社,1992
[7] Morris Driels, linear Control Systems Engineering, 清华大学出版社，2000，12