三角函数总复习
一、基础知识点回顾
正角推广负角零角角度制角的度量弧度制角的概念定义三角函数终边相同的角象限角坐标上的角角度制与弧度制的换算三角函数的符号同角三角函数的基本关系和诱导公式定义域、值域、单调性、奇偶性、周期倍角公式性质三角函数图像两角和与差的正弦、余弦、正切、余切公式半角公式万能公式
二、考试内容：
1、角的概念的推广和弧度制．
2、任意角的三角函数与单位圆中的三角函数线．
3、同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式．
4、两角和差的正弦、余弦、正切公式;二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式． 5、正弦函数、余弦函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的图像和性质;正切函数y=Atan(ωx+φ)的图像和性质;
6、正弦定理,余弦定理运用和解斜三角形；已知三角函数值求角。
三、考纲要求：
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+φ)的简图，理解A、W、φ的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。
8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。
9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。
四、知识结构
（一）三角函数的概念
1.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1））； 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．
当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角。（1） （2）
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任意角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不做旋转时形成的角
(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
?????象限角：第一象限角的集合??x|2k??x?2k??,k?Z?；第二象限角的集合?x|2k???x?2k???,k?Z?
?2??2??? 第三象限角的集合?x|2k????x?2k???,k?Z?；第四象限角的集合??x|2k???x?2k?,k?Z????2??2?第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+
?2,k∈Z
?第二象限角：2kπ+2＜α＜2kπ+π,k∈Z
3?第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+2,k∈Z
3?第四象限角：2kπ+2＜α＜2kπ+2π,k∈Z
(4)终边相同的角：
0一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合?|??k?360??,k?Z或
????|??2k???,k?Z?即S={ β| β=α+k3360
(5)特殊角的集合：
0 ,
K∈ Z}
终边在x轴上角的集合??|??k?,k?Z?,
轴线角??, 终边在y轴上角的集合???|???k?,k?Z??2?（6）终边相同的角集合具体内容归纳：
①与?（0°≤?＜360°）终边相同的角的集合（角?与角?的终边重合）：?|??k?360???,k?Z
终边在坐标轴上角的集合??|??k?,k?Z?
??2??终边在X轴上角：{β| β=K?1800 = kπ，K∈Z}；
?终边在Y轴上角：{β| β=900+K?1800 =2+ kπ，K∈Z}
?终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ+4，k∈Z｝
?终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-4，k∈Z｝
?终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ4，k∈Z｝
??▲
y2sinx1cosxcosx②终边在x轴上的角的集合： ?|??k?180?,k?Z
4??3sinx③终边在y轴上的角的集合：?|??k?180??90?,k?Z ④终边在坐标轴上的角的集合：?|??k?90?,k?Z ⑤终边在y=x轴上的角的集合：?|??k?180??45?,k?Z ⑥终边在y??x轴上的角的集合：?|??k?180??45?,k?Z
??cosxcosx1sinxsinx3x??4??2??SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑦若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?? ⑧若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?180??? ⑨若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180?k?? ⑩角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360?k???90?
2.弧度制：
(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：
?180??1rad?1?rad???360??2?rad, 180?? ≈57.30°=57°18ˊ； ≈0.01745（rad）,
??注意：（a）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
( b) 360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
(3)两个公式：设扇形的弧长为l,圆心角为?(rad),半径为r，α为圆心角弧度数， 则有:扇形弧长：l?r??O一点P,
点P（x,y）与原点的距离为OP?r,则
o； 扇形面积：S=S?11lr?r2?? 22ya的终边P（x,y)r3、三角函数定义： 设?是一个任意角、O为坐标原点, 在?的终边上任取异于原点
xsin??yrrxyx；cos??；tan??；cot??； sec??；csc?? rxrxyy（1）正弦值：关于Y轴对称角（互补角??360?k?180??? ）正弦值相等。
?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z)?sinα
=sin(180-α);
(2)余弦值：关于X轴对称角（相反角即负角??360?k??）余弦值相等。Cos(-α)= Cosα 即?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z)? Cos(-α)= Cosα。
y
(3)正切值（或余切值）：关于原点成中心对称角正切值（或余切值）相等。
即?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z)?tan(180+α)=tanα; cot(180+α)=cotα
x
4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
y16. 几个重要结论:(1)y++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割-+ox+-正切、余切y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x
cosx>sinx|sinx|>|cosx|?(3) 若 o 5、三角函数线： 当0 ?2, 有 : sin? tan?. 正弦线：sin? =MP; 余弦线：cos?=OM; 正切线：tan?= AT. 如下图，sinα=MP, cosα=OM, tgα=AT, ctgα=BS 6、特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1 1 0 －1 0 0 0 2-3 2+3 sin15° 75° sin? 1 22 22 21 3 21 26?246?246?2 46?2 42+3 2-3 coscos? tan? cot? 3 23 33 3 3(二)同角三角函数的基本关系与诱导公式 3 1 0 0 1、同角三角函数的基本关系式: ??cos??1 . ??sin??1 ; sec（1）倒数关系：tan??cot??1; csc（2）商的关系：tan??sin?,cot??cos?. cos?sin?（3）平方关系：sin??cos??1; sec2??tan2??1; csc2??cot2??1 22tan1cotseccsc