再将s1平面通过z?es1T映射到z平面
最后得到S平面和z平面的单值映射关系为
1?z?1s?1?z?1 （3-4）
z?1?s1?s （3-5）
引入待定常数c可得，使得（2-1）式和（2-3）式变成
??ctan(?1T)2 (3-6)
s1T1?e?s1Ts?cth()?c21?e?s1T （3-7）
依然将z?es1T代入，得
1?z?1 s?c (3-8)
1?z?1
z?c?sc?s (3-9)
对于常数c的选择，一般有以下两种方式
低频处时模拟滤波器与数字滤波器有比较确切的对应关系，即低频处Ω≈Ω1。Ω1较
小时
tan(?1T?1T)?22
由（2-4）式及Ω≈Ω1可知
???1?cc?从而
?1T2
2T (3-10)
使用数字滤波器某一特定的频率（如?c??1cT）与模拟滤波器原型的某一特定的频率Ωc严格对应，也即
?c?ctan(?1cT?c)?ctan()22
则
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c??ccot?c2 （3-11）
3.4.2 MATLAB设计
双线性变换法的设计步骤如下： （1）先写出此滤波器的系统函数H(s)?a1 ,a?s?aRC（2）采用双线性变换法进行转换，得数字滤波器系统函数H1(z)为
a1(1?z?1)H1(z)?Ha(s)|21?z?1? ?1s?1?az2T1?z?1aTaT?2 ,a2?aT?2aT?2利用双线性变换法设计椭圆滤波器的M程序如下： a1?fs=1000; wp=2*pi*300/fs; ws=2*pi*400/fs; Rp=1; Rs=30; Ts=1/fs;
Wp=2/Ts*tan(wp/2);Ws=2/Ts*tan(ws/2); [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs); [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn); [bz,az]=bilinear(b,a,fs); [H,f]=freqz(bz,az,512,fs); subplot(2,1,1);
plot(f,20*log10(abs(H))); title('N=2 频率响应'); grid on;
xlabel('频率/Hz');
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ylabel('振幅/dB'); subplot(2,1,2); plot(f,abs(H));grid on; xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅/H');
运行后产生图形如下：
N=2 频率响应0-20振幅/dB-40-60-80050100150200250300频率/Hz35040045050010.8振幅/H0.60.40.20050100150200250300频率/Hz350400450500
图3.7 双线性变换法的MATLAB仿真
3.4.3 双线性变换法设计的优缺点
该设计方法最大优点是避免了频率响应的混叠现象，而对于模拟角频率和数字角频率而言具有变换关系
??ctan()
2由此可见s与z平面是单值的切一一对应，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如下图所示;
?＝2tan?2T???
－?o??19
图3.8 Ω与ω的关系图
可看出s平面虚轴映射到z平面单位圆上下两部分，频率轴具有单值变换关系，Ω→∞时，ω=π为折叠频率，因此不存在高于折叠频率的分量，也就避免了脉冲响应不变法引起的频响混叠现象。
但是，频率Ω与ω间会发生严重的非线性关系导致新的问题的产生，在这一过程中可能没有保持原先的线性相位，若某一频段的幅频响应变化比较大就会发生畸变，这些问题会影响到所设计的滤波器的精确性，因而必须尽量去避免这样的问题发生，使得所设计的滤波器能够符合要求。
Ha(jΩ)oo?????oarg[Ha(jΩ)]ooH(ej?)??
o?arg[H(ej?)]图3.9 双线性变换法的幅度和相位特性的映射
相对于分段常数滤波器来说，变换后得到的滤波器幅频特性仍为分段常数， 上述所说的畸变是可以通过一定的方法克服的，可以通过频率的预畸来进行矫正，也就是在变换前就开始把频率进行畸变，变换后经过映射关系正好能得到所需的频率。
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4 IIR数字滤波系统的设计
4.1 FDATool工具的界面介绍
MATLAB7.0版本提供了Toolboxes工具箱里面便包含了FDATool工具。FDATool工具几乎可以设计所有常规的包括IIR和FIR滤波器的设计。操作方式也比较简单灵活。
图4.1 FDATool界面
观察FDATool工具的界面其设计主要有以下几个本部分;
Response Type:选择滤波器的通带，有Lowpass(低通)，Highpass(高通)，Bandpass(带通)，Bandstop(带阻)等类型，根据设计要求选择合适的通带，本设计选择Lowpass(低通)。
Design Method:选择滤波器的类型，是IIR还是FIR且每种类型又分多种设计方式，要按实际所需来选择。
Filter Order:Specity order代表手动填写所设滤波器阶数，这个是按参数设置填写的；Minimum order是工具根据所设置参数自动设置所需最低阶数，一般都选择此项。
Frequency Specificatons：Units代表单位选择Hz，Fs代表抽样频率，,fpass
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