第5章 角动量守恒定律 刚体的转动
5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：
????? 当F?0时，p?mv?恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：
???F?0????????当M?0时，即?r?0时，L?恒矢量。
???0,?????可见，当F?0时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？
????? 答：质点在有心力场中运动时，F?0,M?0，则角动量守恒，即：
?????当M?0时，L?恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：
in当Aex?Anc?0时，E?EK?EP?恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O是这一轨道的一个焦点。卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？
答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：
?ramva?rbmvb ?varb? vbra可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？
答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，
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它的角动量守恒。
5-5 以初速度v0将质量为m的小球斜上抛，抛射角为?，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？
答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy，y轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：
x?v0cos??t?vx?v0co?s??12? ， ?
v?vsin??gty?v0sin??t?gt?y0?2?对于抛射点的角动量：
??????????L?r?mv?xi?yj?mvxi?mvyj?xmvyk?ymvxk
????将x,y,vx,vy代入得：
???12L??mgv0tcos?k
2当小球到达最高点时，时刻为：t?v0sin?，代入上式得： g3??mv0sin2?cos??小球相对于抛射点的角动量为：L??k。
2g5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究？
答：由于刚体平动时，各点的运动状态相同，则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动，所以刚体的平动可用质点运动来描述。
5-7如果刚体所受的合外力为零，其合外力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否一定为零？
???????答：如果?Fi?0，但力不共轴，则力矩不为零?Mi?0。
???????如果?Mi?0，但力方向相同，则力不为零?Fi?0。
iiii5-8 在某一瞬时，如果刚体受到的合外力矩不为零，其角加速度可以为零吗？其角速度可以为零吗？
?????答:由刚体的转动定理：M?J?
2
?????M???当M?0,J?0时，则???0
J可见，力矩与角加速度有关，力矩与角速度无关，所以角速度可以为零。 5-9 两个同样大小的轮子，质量也相同。一个轮子的质量主要集中在轮緣，另一个轮子的质量主要集中在轮轴附近。问：
（1）如果它们的角速度相同，哪一个飞轮的动能较大？
（2）如果它们的角加速度相等，作用在哪一个飞轮上的力矩较大？ （3）如果它们的角动量相等，哪一个飞轮转得快？
答：质量主要集中在轮緣的轮子的转动惯量用JA表示，质量主要集中在轮轴附近的轮子的转动惯量用JB表示。由J??Δmiri可知，JA>JB 。
2iM?J?
A轮相当于圆环，转动惯量 JA?mR2 B轮相当于圆盘， 转动惯量 JB?（1）当?一定时，转动动能 EKA EKB1mR2 211?JA?2?mR2?2 2211?JB?2?mR2?2 24所以 EkA?EkB
（2）当?一定时，转动定理 MA?JA??mR2? MB?JB??所以 MA?MB
（3）当L一定时，角动量 L?JA?A?mR2?A
L?JB?B?1mR2?B 21mR2? 2?A?LLL2L???? ， B22JAmRJBmR所以 ?A??B
5-10 将一个生鸡蛋和一个熟鸡蛋放在桌子上使其转动，如何判断哪一个是
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生的？哪一个是熟的？为什么？
答：转动时，生、熟鸡蛋所受阻力矩相同。根据角动量定理
?t0Mdt?J??J?0
J?0 M停止时，??0，则 ?t?因为熟鸡蛋内部凝固，而生鸡蛋内部不固定，转动惯量随转动而增大，即J生?J熟，
所以?t生??t熟
生鸡蛋转动时间较长，熟鸡蛋转动时间较短。
5-11 一半径为r的均质小球，沿两个高度相同，倾角不同的斜面无滑动地滚下，在这两种情况下，小球到达斜面下端的速率是否相同？
答：因为小球只作滚动，没有滑动，故摩擦力不作功，机械能守恒。
121mvc?Jc?2 222其中：小球的转动惯量Jc?mr2，质心的速度vc?r?，代入上式得：
5mgh??vc?10gh 7可见，只要小球从同一高度滚下，与斜面的夹角无关，则小球到达斜面下端时的速率是相同的。
5-12 一个人将两臂伸平，两手各拿一只重量相等的哑铃坐在角速度为?的转台上（?为人与转台共同角速度），突然，他将哑铃丢下，但两臂不动，问角动量是否守恒？它们的角速度是否改变？
???? 答：因为?Mi?0，所以角动量守恒。
i设人和转台的转动惯量为J，哑铃的质量为m，手臂的长为l，开始时角速度为?，丢掉哑铃时角速度为??，由角动量守恒得：
?J?2ml???J??
2?2ml2??????1?????
J??可见，丢掉哑铃后，角速度变大。
5-13 你骑自行车前进时，车轮的角动量指向什么方向？当你的身体向左侧倾
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斜时，对车轮加了什么方向的力矩？试根据进动原理说明这时你的自行车为什么要向左转弯。
???????? 答：当车轮前进时，角动量L方向与角速度?方向一致，即：L?J?。 当你的身体向左侧倾斜时，对车轮施加了一个进动方向的力矩，即:
?????????dL M?rc?mg?dt力矩改变了角动量的方向，所以自行车就向左转弯。
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