数学模型课程结业论文
一．问题重述
某医院一个工作日（分为12个两个时长的时段）每个时段需要护士人数如下表：
编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时段 00am - 02am 02am - 04am 04am – 06am 06am – 08am 08am – 10am 10am – 12pm 12pm – 02pm 02pm – 04pm 04pm – 06pm 06pm – 08pm 08pm – 10pm 10pm – 12am 需要护士人数 15 15 15 35 40 40 40 30 31 35 30 20 问题1：假定每个护士每天工作8个小时，且在连续工作4个小时后需要休息2小时，计算为满足需求至少需要多少护士。
问题2：此医院目前有80名护士，这个数目不足以满足需求，因此需要安排部分人加班，每天加班时间为2个小时，且紧跟随在后一个4小时工作时间之后，中间没有休息，求护士工作时间安排方案，以使需要加班的护士人数最少。
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二．模型假设
2.1模型假设
1.假设所有护士都能保持全勤率。
2.假设所有护士都能服从安排，准时上下班。 3.假设不考虑各种客观因素对护士人数的影响。 4.假设没有突发事件发生，医院无需作出人员调整。
2.2符号约定
i,j:表示i,j个工作时段，i,j=1,2...12; n:表示护士编号即第n个护士；
?1,表示n护士在i时段值班； Ain??0，表示n护士在i时段不值班?M1：表示所需护士的人数；
M2：表示所需加班护士的人数；
Pi：表示i时段所需护士的人数；
S1,S2:表示设定的护士每日单板的时段排列情况即值班模式； S1(i):表示第i 个时间段以S1模式开始工作的人数； S2(j):表示第i 个时间段以S2模式开始工作的人数
i@j:表示为满足时段循环而定义的算法,i@j?i?j?k*12,i@j??1,12?,k?N
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三．问题分析
本题是规划问题，我们想到建立一般规划模型求解，为能够用数学语言表示引
?1,表示n护士在i时段值班入一个二维的0-1整型变量Ain??；利用集循环函数建
?0，表示n护士在i时段不值班立相应模型顺利的完成了求解，其分析过程如下：
问题一，首先我们引入集函数为；@function,sets:times/1....12/：star1,star2,required:min=@sum(times:star1+star2)和@for，相应数学语言转化： Star1 即S1模式：1,1,0,1,1 Star2 即S2模式：1,0，1,0,1,0，1
我们设定每名护士只能按其中一种工作模式值班，这时我们可以得出所需护士人数就是按照两种独立工作模式值班的护士之和即目标函数M1???S1?i??S2(i)?；由于
i?112工作模式以满足两个约束条件，此时只有各时段护士需求约束，为解决首尾时段连续的影响，我们定义了一个算法i@j?i?j?k*12,i@j??1,12?,k?N，此时该约束可
以
表
示
为
：
st:s1(i)?s1(i@8)?s1(i@9)?s1(i@11)?s2(i)?s2(i@6)?s2(i@8)?s2(i@10)?P(i)，
最后利用lingo编程即可进行求解。
问题二,与上题相类似，首先设定相应工作模式： Star1 即S1模式：1,1,0,1,0,1,1 Star2 即S2模式：1,0,1,0,1,1
此时加班护士人数即为按照s1模式值班的护士人数：M2??S1(i)
i?112P(i)?s1(i)?s1(i@6)?s1(i@7)?s1(i@9)?s1(i@11)?s2(i)?s2(i@7)?s2(i@8)?s2(i@10)除此之外，问题二还有一个限制条件，护士总人数确定为80人即，
M1???S1?i??S2(i)?=80；最后应用lingo即可完成求解。
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四．模型建立
根据以上分析，建立相应的规划模型如下： 模型一：
模式设定：s1模式：1,1,0,1,1 （1表示工作，0表示不工作） 模式设定：s2模式：1,0,1,0,1,0,1 （1表示工作，0不是不工作） min M1??(s1(i)?s2(i))
i?112st:s1(i)?s1(i@8)?s1(i@9)?s1(i@11)?s2(i)?s2(i@6)?s2(i@8)?s2(i@10)?P(i) 模型二：
模式设定：s1加班模式：1,1,0,1,0,1,1 （1表示工作，0表示不工作） 模式设定：s2加班模式：1,0,1,0,1,1 （1表示工作，0不是不工作） Min M2??s1(i)
i?112St：
P(i)?s1(i)?s1(i@6)?s1(i@7)?s1(i@9)?s1(i@11)?s2(i)?s2(i@7)?s2(i@8)?s2(i@10)??S1?i??S2(i)??80
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五．模型处理
5.1数据处理
编1 号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 000204060810121416182022时————————————段 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 22 24 表一：各编号对应的时间段
Pi 人数 P1 15 P2 15 P3 15 P4 35 P5 40 P6 40 P7 40 P8 30 P9 31 P10 P11 P12 35 30 20 表二：在第i时间段所需要的护士人数
5.2编程求解
模型一：Lingo求解结果如下（代码见附录）
结论：在每个护士每天工作8小时，且在连续工作4小时后需休息2小时的条件下，该医院为满足工作量的需求至少需要87名护士，对应调度安排见附录。 模型二：Lingo求解结果如下（代码见附录）
结论：在医院只有80名护士的前提下，为满足加班要求，至少需要26名护士加班。对应护士工作时间安排见附录。
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