6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为?盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差??1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。
解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从N标准化得到标准正态分布：z=为：
??,?n的正态分布，由正态分布，
2?x??～N?0,1?，因此，样本均值不超过总体均值的概率P
?n?x????0.3x??0.3?0.3?P?x???0.3?=P?????=P??
??n?n??19?n19?=P??0.9?z?0.9?=2??0.9?-1，查标准正态分布表得??0.9?=0.8159 因此，Px???0.3=0.6318
6.2在练习题6.1中，我们希望样本均值与总体均值?的偏差在0.3盎司之内的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？
???x????0.3x??0.3?0.3?Px???0.3P?P??解：??=??=??
?n?n1n?n1n????=2?(0.3n)?1?0.95??(0.3n)?0.975
?0.3n?1.96?n?42.68288?n?43
6.3 Z1，Z2，……，Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b，使得 ?62?P??Zi?b??0.95 ?i?1?解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的： 设Z1，Z2，……，Zn是来自总体N(0,1)的样本，则统计量
2?2?Z12?Z2?2 ?Zn服从自由度为n的χ2分布，记为χ2～ χ2（n） 因此，令?2??Zi2，则?2??Zi2i?1i?166?6??2?6?，那么由概率P??Zi2?b??0.95，可知：
?i?1?b=?12?0.95?6?，查概率表得：b=12.59
1
6.4 在习题6.1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差?2?1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这
1n22(Yi?Y)2)，确定一个合适的范围使得有10个观测值我们可以求出样本方差S(S??n?1i?1较大的概率保证S2落入其中是有用的，试求b1，b2，使得 p(b1?S2?b2)?0.90
解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：
(n?1s)2?2~?2(n?1 )此处，n=10，?2?1，所以统计量
(n?1)s2(10?1)s2?2?1?9s2~?2(n?1)
根据卡方分布的可知：
P?b21?S?b2??P?9b1?9S2?9b2??0.90
又因为：
P??2??9S2??21??2?n?1?2?n?1???1??
因此：
P?9b?n?1??9S2??21?9S2?9b2??P??21??2?2?n?1???1???0.90 ?P?9b9S2?9b221?2??P??1??2?n?1??9S2???2?n?1?? ?P??2??9S2??20.95?90.05?9???0.90
则：
?9b2?1??0.95?9?,9b2???9??b?220.95?9?0.051?9,b2??20.05?99
查概率表：?2=3.325，?20.95?9?0.05?9?=19.919，则
b?20.95?9??20.05?9?1?9=0.369，b2?9=1.88
2
7.1 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本容量为40的样本，样本均
值为25。
（1）样本均值的抽样标准差等于多少 ?x??n?5?0.79 40（2）在95%的置信水平下，估计误差是多少？ z?/2?x?z?0.025n?1.9?60.?791. 54957.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾客
组成了一个简单随机样本。
(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。
?x??n?15=2.143 49(2)在95％的置信水平下，求边际误差。
?x?t??x，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=z?2 因此，?x?t??x?z?2??x?z0.025??x=1.96×2.143=4.2 (3)如果样本均值为120元，求总体均值 的95％的置信区间。 置信区间为：
?x??x,x??x?=?120?4.2,120?4.2?=（115.8，124.2）
7.4 从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到x=81，s=12。
要求：
大样本，样本均值服从正态分布：x??2?N??,?或xn???s2N??,?n?? ?置信区间为：?x?z?2???s12ss?，==1.2 ,x?z?2??n100nn?(1)构建?的90％的置信区间。
z?2=z0.05=1.645，置信区间为：?81?1.645?1.2,81?1.645?1.2?=（79.03，82.97）
(2)构建?的95％的置信区间。
z?2=z0.025=1.96，置信区间为：?81?1.96?1.2,81?1.96?1.2?=（78.65，83.35）
(3)构建?的99％的置信区间。
z?2=z0.005=2.576，置信区间为：?81?2.576?1.2,81?2.576?1.2?=（77.91，84.09）
3
7.5 利用下面信息，构造总体均值的置信区间。 （1）x?25??3.5n?601???95%
x?z?/2?n?25?z0.0253.5?25?0.8856 60（2）x?119.6s?23.89n?751???98%
x?z?/2s23.89?119.6?z0.01?119.6?6.4174 n75（3）x?3.419s?0.974n?321???90%
x?z?/2s0.974?3.419?z0.05?3.419?0.2832 n327.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。 （1）总体服从正态分布，且已知x?8900??500n?151???95%
x?z?/2?n?8900?z0.025500?8900?253.03 15（2）总体不服从正态分布，且已知x?8900??500n?351???95%
x?z?/2?n?8900?z0.025500?8900?165.6472 35（3）总体不服从正态分布，σ未知，x?8900s?500n?351???90%
x?z?/2s500?8900?z0.05?8900?139.0155 n35（4）总体服从正态分布，σ未知，x?8900??500n?351???99%
x?z?/2s500?8900?z0.005?8900?217.6973 n357.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)： 3.3 4.4 2.1 4.7 3.1 2.0 1.9 1.4 6.2 5.4 1.2 1.2 5.8 2.6 5.1 2.9 2.3 6.4 4.3 3.5 4.1 1.8 4.2 2.4 5.4 3.5 3.6 0.5 4.5 5.7 0.8 3.6 3.2 2.3 1.5 2.5 求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90％，95％和99％。
4
解：
（1）样本均值x=3.32，样本标准差s=1.61； （2）抽样平均误差： 重复抽样：??sx=n?n=1.61/6=0.268 不重复抽样：?N?nx=?n?N?1?sn?N?nN?1=1.617500?3636?7500?1 =0.268×0.995=0.268×0.998=0.267
（3）置信水平下的概率度： 1??=0.9，t=z?2=z0.05=1.645 1??=0.95，t=z?2=z0.025=1.96 1??=0.99，t=z?2=z0.005=2.576 （4）边际误差（极限误差）： ?x?t??x?z?2??x
1??=0.9，?x?t??x?z?2??x=z0.05??x
重复抽样：?x?z?2??x=z0.05??x=1.645×0.268=0.441 不重复抽样：?x?z?2??x=z0.05??x=1.645×0.267=0.439
1??=0.95，?x?t??x?z?2??x=z0.025??x
重复抽样：?x?z?2??x=z0.025??x=1.96×0.268=0.525 不重复抽样：?x?z?2??x=z0.025??x=1.96×0.267=0.523
1??=0.99，?x?t??x?z?2??x=z0.005??x
重复抽样：?x?z?2??x=z0.005??x=2.576×0.268=0.69 不重复抽样：?x?z?2??x=z0.005??x=2.576×0.267=0.688
（5）置信区间：
?x??x,x??x?
1??=0.9，
重复抽样：?x??x,x??x?=?3.32?0.441,3.32?0.441?=（2.88，3.76）5