机械工程测试技术基础习题解答
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2x(t)??.
T? A (0?t?0)??2积分区间取（-T/2，T/2）
T02T?02T020
1cn?T0 =j?x(t)e?jn?0t1dt=T0?0T?02?Ae?jn?0t1dt+T0?Ae?jn?0tdt
A(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, ?)n??所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cnejn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, ?。 ??n???nA?
A?c??(1?cosn?)?nI (n=0, ?1, ?2, ?3, ?) n????cnR?0
cn?cnR2?cnI2?2A n??1,?3,?,? A??(1?cosn?)??n? n??0 n?0,?2,?4,?6, ??
φn?arctancnIcnR?π??2n??1,?3,?5,???π??n??1,?3,?5,?
2?n?0,?2,?4,?6,??0??没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。 解
答
：
3ω0 5ω0 ω φn 2A/5π -5ω0 幅频图
2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0TT
?T2Txxx2?sinωtdt??cosωt0? Tω0Tωπ20xrms2x01T21T22?x(t)dt?x0sinωtdt???00TTT?at?T0x1?cos2ωtdt?0 22
1-3 求指数函数x(t)?Ae解答：
(a?0,t?0)的频谱。
X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f)?2a?j2?fa?(2?f)2
X(f)?ka?(2?f)22
?(f)?arctanImX(f)2?f??arctan
ReX(f)a
|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
图1-25 题1-4图
a)符号函数的频谱
b)阶跃函数
t u(t) 1 0 t
??1t?0 x(t)?sgn(t)????1t?0t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t)?e?at?e?atsgn(t)??at??ea?0t?0t?0
x(t)?sgn(t)?limx1(t)
X1(f)??x1(t)e?j2?ftdt???eate?j2?ftdt??e?ate?j2?ftdt??j????0?0?4?f 22a?(2?f)X(f)?F?sgn(t)??limX1(f)??ja?01 ?fX(f)?1 ?f
?????(f)??2?????2f?0
f?0x1(t) 1
|X(f)| φ(f) π/2 0
t
0 -1
0 f -π/2 f x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
b)阶跃函数频谱
符号函数频谱
?1t?0 u(t)??0t?0?在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数
u(t)?11?sgn(t) 2211?1?1?1??1?1 U(f)?F?u(t)??F???F?sgn(t)???(f)???j??(f)?j???22??f?2??f??2?2U(f)?11?2(f)? 22??f?结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流
分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
|U(f)| φ(f) π/2 0 -π/2 f
单位阶跃信号频谱
f (1/2) 0
解法2：利用冲激函数
t?1t?0时 u(t)???(?)d??????0t?0时根据傅里叶变换的积分特性
t111?1? U(f)?F???(?)d????(f)??(0)?(f)???(f)?j???????j2?f22??f?1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。
??cosω0tx(t)????0t?Tt?T
x(t) 1
解：x(t)?w(t)cos(2?f0t)
w(t)为矩形脉冲信号
W(f)?2Tsinc(2?Tf) cos(2?f0t)?-T 0 T t 1j2?f0te?e?j2?f0t 211j2?f0t?w(t)e?j2?f0t 所以x(t)?w(t)e22??-1 w(t) 1 根据频移特性和叠加性得：
11X(f)?W(f?f0)?W(f?f0) 22?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)]-T 0 图1-26 被截断的余弦函数
T t 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。