湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（一）
数学（理）试题（附答案）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A??xx?2?,B??x2x?1?，则A?B?（ ）
A．{x|0?x?2} B．{x1?x?2} C．{xx?0} D．{xx?2} 2.已知
2?1?i，其中i为虚数单位，a?R，则a?（ ） a?iA．?1 B．1 C．2 D．?2
3.已知等比数列?an?是递增数列，Sn是?an?的前n项和.若a1?a3?5,a1a3?4，则S6?（ ） A．31 B．32 C．63 D．64
4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为30?，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．134 B．866 C．300 D．500
5.已知f?x?是定义在R上的奇函数.当x?0时，f?x??x2?x，则不等式f?x??0的解集用区间表示为（ ）
A．??1,1? B．???,?1???1,??? C．???,?1???0,1? D．??1,0???1,??? 6.?1?x?x2?展开式中x3的系数为（ ）
10A．10 B．30 C．45 D．210
7.某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．4? B．8? C．12? D．16?
?1??1,?2.4??2.执行如图所示的程序框图，则输出S的8.已知?x?表示不超过x的最大整数，如?0.5??0,值为（ ）
A．450 B．460 C．495 D．550
xm9.已知函数f?x??x?nx（m,n为整数）的图像如图所示，则m,n的值可能为（ ）
e
A．m?2,n??1 B．m?2,n?1 C．m?1,n?1 D．m?1,n??1
?10.已知f?x??cos?x,(??0)的图像关于点?3???2??,0?对称，且f?x?在区间?0,?上单调，则?的值为43????（ ）
A．1 B．2 C．
102 D． 332211.已知抛物线C1:y?4x和圆C2:?x?1??y2?1，直线y?k?x?1?与C1,C2依次相交于
A?x1,y1?,B?x2,y2?,
C?x3,y3?,D?x4,y4?四点（其中x1?x2?x3?x4），则AB?CD的值为（ ）
k2A．1 B．2 C． D．k2
412.已知直三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1,BB1,CC1，分别交于三点M,N,Q，若?MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）
A．22 B．3 C．23 D．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
?????????ABCBC13. 已知是边长为2的等边三角形，E为边的中点，则AE?AB?．
?1?x?y?2?14.已知实数x,y满足?x?0，则z?2x?y的最大值为．
?y?0?15.已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为．
16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在?ABC中，A?30?,BC?25，点D在AB边上，且?BCD为锐角，CD?2,?BCD的面积为4. （1）求cos?BCD的值； （2）求边AC的长.
18.如图,在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形,AB//CD,平面CBE与平面BDE垂直，且CB?BE.
（1）求证：ED?平面ABCD；
（2）若AB?AD,AB?AD?1,且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为6,求AF的长. 619.某协会对A,B两家服务机构进行满意度调查，在A,B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.
?10,20?,?20,30?,?30,40?,?40,50?,?50,60?，得到A整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：?0,10?,服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：
定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:
（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；
（2）从在A,B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率； （3）如果从A,B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由_
x2y220.已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?与直线l:bx?ay?0都经过点M22,2.直线m与l平行，且与
ab??椭圆C交于A,B两点，直线MA,MB与x轴分别交于E,F两点. （1）求椭圆C的方程；
（2）证明：?MEF为等腰三角形. 21.已知函数f?x??lnx?a?x?1??a?0?. （1）讨论f?x?的单调性；
（2）若f?x?在区间?0,1?内有唯一的零点x0，证明：e?322?x0?e?1.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是??4cos?，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线m的参数方程是??x?1?tcos? (t为参数).
?y?tsin?（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线m与曲线C相交于A,B两点，且AB?14，求直线m的倾斜角?的值. 23.选修4-5:不等式选讲. 已知函数f?x??2x?1?x?a.
（1）若a??1，求不等式f?x??0的解集；
（2）若方程f?x??2x有三个不同的解，求a的取值范围
试卷答案
一、选择题
1-5: ABCAD 6-10:BCBBD 11、12：AC
二、填空题
13. 3 14. 4 15.5?1 16. 7 2三、解答题
17.解：（1）∵BC?25，CD?2，S?BCD?∴sin?BCD?255.∴cos?BCD?； 555， 51BC?CD?sin?BCD?4， 2（2）在?BCD中，CD?2,BC?25,cos?BCD?由余弦定理得：DB2?CD2?BC2?2CD?BC?cos?BCD?16，即DB?4， ∵DB2?CD2?BC2，∴?BCD?90?，即?ACD为直角三角形， ∵A?30?，∴AC?2CD?4.
18.解：（1)证明：因为平面CBE与平面BDE垂直 且CB?BE，平面CBE与平面BDE的交线为BE 所以CB?面BDE， 又ED?面BDE 所以，CB?ED
在矩形ADEF中，ED?AD
又四边形ABCD为梯形，AB//CD所以AD与CB相交， 故ED?平面ABCD
（2）由（1）知，ED垂直DA，ED垂直DC，又AD垂直AB，AB平行CD，所以DC垂直DA，如图，以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x,y,z轴建立空间坐标系
AD?AB?1,AB?AD,BD?2
DC?2， 又CB?BD,?CDB?45?，所以 DE?a 设