题 9-10 图
分析 水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为P0?er0，而夹角为2θ.叠加后水分子的电偶极矩大小为
p?2er0cos?，方向沿对称轴线，如图所示.由于点
E?12p
4πε0x3O 到场点A 的距离x ＞＞r0 ，利用教材第5 －3 节中电偶极子在延长线上的电场强度
可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布. 解1 水分子的电偶极矩
p?2p0cos??2er0cos?
在电偶极矩延长线上
E?12p14er0cosθ1er0cosθ?? 3334πε0x4πε0xπε0x解2 在对称轴线上任取一点A，则该点的电场强度
E?E??E?
E?2E?cosβ?E?2222ercosθ2e? 224πε0r4πε0x由于 r?x?r0?2xr0cosθ
cosβ?代入得
x?r0cosθ r2eE?4π?0?x?r0cos?1??2? ?23/22x????x?r0?2xr0cos???3/2测量分子的电场时， 总有x ＞＞r0 ， 因此， 式中
?x2?r02?2xr0cos??3/2?2rcos???x3?1?0?x???32rcos???x3?1??0?，将上式化简并
x??2略去微小量后，得
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E?1r0ecosθ 3πε0x9－11 两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ.(1) 求两导线构成的平面上任一点的电场强度( 设该点到其中一线的垂直距离为x)；(2) 求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.
题 9-11 图
分析 (1) 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加.
(2) 由F＝qE，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量，即：F＝λE.应该注意：式中的电场强度E是另一根带电导线激发的电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力.
解 (1) 设点P在导线构成的平面上，E＋、E－分别表示正、负带电导线在P 点的电场强度，则有
??11???E?E??E???i?2π?0?xr0?x???r0?i2π?0x?r0?x?
(2) 设F＋、F－分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有
F??λE??λi
2πε0r0λ2F???λE???i
2πε0r0显然有F＋＝F－，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引.
9－12 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.
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题 9-12 图
分析 方法1：作半径为R 的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
?E?dS?S1q?0 ?ε0这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而
Φ??E?dS???E?dS
SS?方法2：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即Φs?E?dS
S?
解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
Φ??E?dS???E?dS
SS?依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS 的方向，
Φ??E?πR2?cosπ?πR2E
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为
E?E?cos?e??sin?cos?e??sin?sin?er?
dS?R2sinθdθder
Φ??SE?dS??SER2sin2?sin?d?d???0ERsin?d??0sin?d??πR2E9－13 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为120V?m，方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).
分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.
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?1π22π
解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径R?RE(RE为地球平均半径).由高斯定理
2?E?dS??E4πRE?1?q ε0地球表面电荷面密度
2???q/4πRE???0E??1.06?10?9C?m?2
单位面积额外电子数
n??/(?e)?6.63?105cm?2
9－14 设在半径为R的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为?,求带电球内外的电场强度分布.
分析 电荷均匀分布在球体内呈球对称，带电球激发的电场也呈球对称性.根据静电场是有源场，电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面，依照高斯定理有
2E?dS?4πrE??sQi?0
上式中Qi是高斯面内的电荷量，分别求出处于带电球内外的高斯面内的电荷量，即可求得带电球内外的电场强度分布.
解 依照上述分析，由高斯定理可得
r?R时， 4πr2E??43πr ?03假设球体带正电荷，电场强度方向沿径向朝外.考虑到电场强度的方向，带电球体内的电场强度为
?E?r
3?0r?R时， 4πr2E??43πR ?03考虑到电场强度沿径向朝外，带电球体外的电场强度为
9－15 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1 和R2 (R2＞R1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R1 ，(2) R1 ＜r＜R2 ，(3) r＞R2 .
?R3E?e 2r3?0r 9 / 80
题 9-15 图
分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且的电荷
?E?dS?E?2πrL，求出不同半径高斯面内
?q.即可解得各区域电场的分布.
解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理
E?2πrL??q/ε0 r ＜R1 ， ?q?0 E1?0
R1 ＜r ＜R2 ， ?q?λL E2?λ 2πε0rr ＞R2，
?q?0
E3?0
在带电面附近，电场强度大小不连续，如图（b）所示，电场强度有一跃变
ΔE?λλLζ?? 2πε0r2πε0rLε09－16 如图所示，有三个点电荷Q1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且Q1 ＝Q3 ＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、Q3 的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.
题 9-16 图
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