当r≤R 时
V?r???当r≥R 时
Rrρrρdr?R2?r2 2ε04ε0??V?r???RrρR2ρR2Rdr?ln 2ε0r2ε0r－5
－
如图所示是电势V 随空间位置r 的分布曲线.
9－22 一圆盘半径R＝3.00 ×10 m.圆盘均匀带电，电荷面密度ζ＝2.00×10 C·m
2
－2
.(1) 求轴线上的电势分布；(2) 根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；(3) 计算
离盘心30.0 cm 处的电势和电场强度.
题 9-22 图
分析 将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布. 解 (1) 如图所示，圆盘上半径为r的带电细圆环在轴线上任一点P激发的电势
dV?由电势叠加，轴线上任一点P 的电势的
1ζ2πrdr 224πε0r?xζV?2ε0 (2) 轴线上任一点的电场强度为
?Rrdrr2?x20?ζ2ε0?R?x?x? (1)
22E??电场强度方向沿x 轴方向.
?dVζ?xi?1???i (2) 22dx2ε0?R?x?(3) 将场点至盘心的距离x ＝30.0 cm 分别代入式(1)和式(2)，得
V?1691V
E?5607V?m-1
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当x＞＞R 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为q?πR2ζ?5.65?10?8C.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有
V?q?1695V 4πε0xE?q-1?5649V?m 24πε0x由此可见，当x＞＞R 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E和V的误差分别不超过 0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.
9－23 两个很长的共轴圆柱面(R1 ＝3.0×10 m，R2 ＝0.10 m)，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 Ｖ.求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r＝0.05 m 处的电场强度.
解 (1) 由习题9－15 的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为
－2
E?根据电势差的定义有
λ 2πε0rU12??E2?dl?R1R2λRln2 2πε0R1解得 λ?2πε0U12/lnR2?2.1?10?8C?m?1 R1 (2) 解得两圆柱面之间r＝0.05m 处的电场强度
E???7 475V?m?1
2π?0r9－24 轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核(质子)结合成一个氦原子核(α粒子)时，可释放出25.9MeV 的能量.即
40411H?2He?21e?25.9MeV
这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚变，就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大，只有在极高的温度下，使原子热运动的速度非常大，才能使原子核相碰而结合，故核聚变反应又称作热核反应.试估算：(1)一个质子(1H)以多大的动能(以电子伏特表示)运动，才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离？ (2)平均热运动动能达到此值时，温度有多高？ (质子的半径约为1.0 ×10
－15
1 m)
分析 作为估算，可以将质子上的电荷分布看作球对称分布，因此质子周围的电势分布为
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V?e 4πε0r将质子作为经典粒子处理，当另一质子从无穷远处以动能Ek飞向该质子时，势能增加，动能减少，如能克服库仑斥力而使两质子相碰，则质子的初始动能
1e2 Ek0?eV2R?4π?0r2R假设该氢原子核的初始动能就是氢分子热运动的平均动能，根据分子动理论知：
3Ek?kT
2由上述分析可估算出质子的动能和此时氢气的温度. 解 (1) 两个质子相接触时势能最大，根据能量守恒
1e2EK0?eV2R??7.2?105eV
4πε0r2R由Ek012?mv0可估算出质子初始速率 2v0?2Ek0/m?1.2?107m?s?1
该速度已达到光速的4％.
(2) 依照上述假设，质子的初始动能等于氢分子的平均动能
3Ek0?Ek?kT
2得 T?2Ek0?5.6?109K 3k实际上在这么高的温度下，中性原子已被离解为电子和正离子，称作等离子态，高温的等离子体不能用常规的容器来约束，只能采用磁场来约束(托卡马克装置)
9－25 在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109 Ｖ，被迁移的电荷约为30 C.(1) 如果释放出来的能量都用来使0 ℃的冰融化成0 ℃的水，则可溶解多少冰？ (冰的融化热L＝3.34 ×105 J· kg)(2) 假设每一个家庭一年消耗的能量为3 000kW·h，则可为多少个家庭提供一年的能量消耗？
解 (1) 若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收，故可融化冰的质量
m?即可融化约 90 吨冰.
(2) 一个家庭一年消耗的能量为
ΔEqU??8.98?104kg LL 18 / 80
E0?3000kW?h?1.08?1010J
n?ΔEqU??2.8 E0E0－30
5
一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年消耗的电能. 9－26 已知水分子的电偶极矩p=6.17×10
-1
C· m.这个水分子在电场强度E＝1.0 ×10
V· m的电场中所受力矩的最大值是多少?
分析与解 在均匀外电场中，电偶极子所受的力矩为
M?p?E
当电偶极子与外电场正交时，电偶极子所受的力矩取最大值.因而有
Mmax?pE?6.17?10?25N?m
9-27 电子束焊接机中的电子枪如图所示，K为阴极，A为阳极，阴极发射的电子在阴极和阳极电场加速下聚集成一细束，以极高的速率穿过阳极上的小孔，射到被焊接的金属上使两块金属熔化在一起.已知UAK并设电子从阴极发射时的初速度为零，求：（1）?2.5?104V，
电子到达被焊接金属时具有的动能；（2）电子射到金属上时的速度.
分析 电子被阴极和阳极间的电场加速获得动能，获得的动能等于电子在电场中减少的势能.由电子动能与速率的关系可以求得电子射到金属上时的速度. 解 （1）依照上述分析，电子到达被焊接金属时具有的动能
Ek?eUAK?2.5?104eV
(2)由于电子运动的动能远小于电子静止的能量，可以将电子当做经典粒子处理.电子射到金属上时的速度
题 9-27 图
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第十章 静电场中的导体与电介质
10－1 将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）
（A） 升高 （B） 降低 （C） 不会发生变化 （D） 无法确定
分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）.
10－2 将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N的左端接地（如图所示），则（ ） （A） N上的负电荷入地 （B）N上的正电荷入地 （C） N上的所有电荷入地 （D）N上所有的感应电荷入地
题 10-2 图
分析与解 导体N接地表明导体N为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N在哪一端接地无关.因而正确答案为（A）.
10－3 如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A）E?0,V?qqq,V? （B）E? 24πε0d4πε0d4πε0d（C）E?0,V?0 （D）E?qq,V? 24πε0d4πε0R
题 10-3 图
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