索赔次数 观察频数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27,141 5,789 1,443 457 155 56 27 2 1 1 0 35,072 车辆数 拟合频数 单个Poisson分布 25528.69 8107.91 1287.54 136.31 10.82 0.69 0.04 0 0 0 0 35,072 两个Poisson分布的混合 27,120.34 5,838.70 1,366.37 501.74 177.12 51.81 12.68 2.66 0.49 0.08 0.01 35,072 ?10 总数 两个Poisson分布混合时的拟合的情况比单个Poisson分布好得多，尤其是在尾部。尾部概率不能低估，更不能忽略不计。虽然尾部概率很小，但它是发生大损失的概率。保险公司对尾部概率(大损失的小概率)要谨慎从事。三个或更多，甚至无穷多个Poisson分布的混合也可被使用，拟合的情况将会更好(见练习4)。
如果这家保险公司不考虑风险的异质性，依据总的样本均值x?0.3176，对所有的保
?的保单持有人是不公平的，而便宜了单持有人收取同样的保费，则对风险状况为P?0.1719?的保单持有人。市场很快就会对此有所反应，风险状况为那些风险状况为P?1.4694P?0.1719?的保单持有人会转向其他的保险公司购买保险，而那些风险状况为P?1.4694?的
车主就会到这家便宜的保险公司来购买保险。如果这家保险公司不提高保费，那么就这个险种而言，很快就会收不抵赔，财务情况发生困难。所以保险公司考虑风险的异质性，按风险类别分别收取不同的保费是非常必要的。
关于按风险类别分别收取不同保费的问题，一般来说有以下两种处理方法。由于汽车有家用载人、出租汽车、企业载货、公共交通等的区别，他们的风险状况非常不同，所以保险公司按不同的类别设计了不同的险种。这是第一种处理方法。同是家用载人轿车，其风险状况和被保险人的年龄、性别、驾驶经验、汽车的品牌和款式、每年行驶的里程数、使用年数以及停放地点有关。如果保险公司按被保险人和汽车的不同情况将家用载人轿车险种再进一步细分成不同的险种，这样的处理方法势必增加公司的管理费用，至少在经济上是不合算的。人们通常采用的解决方法是，对购买家用载人轿车险种的投保人，根据他们不同的风险特征，
收取不同的保费。收取的保费既要考虑该投保人的风险特征，又要考虑家用载人轿车险种总的赔付情况。这第二种处理方法就是本章将要讨论的方法。
在上例，我们假设这些观察数据来自于两个不同的Poisson分布P?0.1719?和P?1.4694?的混合，其中来自于P?0.1719?的比例为0.8876，来自于P?1.4694?的比例为0.1124。这
?可能等于0.1719，相当于假设，这些观察数据来自于Poisson分布P???，也可能等于1.4694，?等于0.1719的概率为0.8876，?等于1.4694的概率为0.1124。这相当于说?服从离散型
分布，其分布律为
? 0.1719 0.8876 表5.2.2
1.4694 0.1124 ???? 此外，?也可以服从更加复杂一些的分布，例如取三个，或更多值的离散型分布，甚至连续型分布。就本例索赔次数数据而言，若?取连续型分布，则由第二章的表2.2.1知，通常假设?服从伽玛分布，其密度函数为
????1?????????e，??0 (5.2.2)
????其中??0，??0，?和?是伽玛分布的两个参数。伽玛分布的密度函数的图形如下：
(a-1)/b
图 5.2.1
伽玛分布的均值和方差分别是??和??2。从图5.2.1可以看到，在??1时，伽玛分布的密度函数严格单调下降。而在??1时，函数是单峰的，峰值(即众数)位于??(??1)?处。所以如果取??1的伽玛分布作为?的分布，则该险种的投保人，风险状况越好的越多，越差的越少。而如果取??1的伽玛分布作为?的分布，则风险状况居中的投保人多，且两边风险状况好的和差的投保人都越来越少。 5.2.2 结构函数
设随机变量X表示某一险种的实际损失。X可以代表该险种的索赔次数，索赔频率或赔款额。X的风险大小一般用?来度量。?称为风险参数。?犹如上面所述的Poisson分布中的?。若风险同质，?取某个固定的值。若风险异质，?服从某个分布，其密度记为????。在?服从离散型分布时，????表示分布律；在?服从连续型分布时，????表示密度函数。在信度理论中，????称为结构函数(structure function)，而在贝叶斯统计推断中，????称为先验分布。在信度理论中，在?给定后，X的条件概率密度记为f?x|??，并称X的边际密度f?x???f?x|??????d?为混合分布，如果?是离散型取值，其中的积分应理解为求和。
结构函数是描述和处理风险异质性的一个重要方法。结构函数的选取，取决于我们对实际情况和贝叶斯统计推断的了解程度。比如，关于索赔次数数据，通常假设在?给定后，X的条件分布为Poisson分布P???。根据贝叶斯统计推断的理论，人们取?的结构函数为伽玛分布。同时人们发现取伽玛分布为结构函数能很好地描述风险的异质性。事实上，如何识别风险的异质性，以及在风险异质时，如何区分风险类别，如何构造结构函数都是实践性很强的问题，依赖于人们的经验，对险种、风险、投保人和市场等的了解程度，依赖于我们收集到的数据的质量和数量。
第一章的(1.1.17)式在识别索赔次数数据的风险异质性时是很有用的。我们把它作为一个定理，重新叙述如下：
定理5.2.1 风险异质时，总的方差等于条件方差的期望与条件期望的方差之和：
Var?X??E?Var?X|????Var?E?X|???
5.2.3 索赔次数数据的风险异质性的识别
下面以我国某家保险公司1996年的35,072辆投保机动车的索赔次数的统计结果(见表5.2.1)为例，介绍贝叶斯统计推断以及统计估计和检验，在识别和处理风险异质性问题中的
应用。
必须指出的是，这里的风险指的是索赔次数，不是赔款额。索赔次数的分布往往假设为Poisson分布，而赔款额的分布有多种假设。不同的险种，有不同的赔款额的分布假设。所以赔款额数据的风险异质性问题的讨论较索赔次数复杂和困难。本书将不讨论这个问题。由于赔款额数据常常和索赔次数数据在一起，所以通过讨论索赔次数数据，在一定程度上可以识别和处理赔款额数据的风险异质性问题。但必须指出的是，赔款额数据和索赔次数数据是有区别的。比如，某家保险公司发现，女驾驶员发生事故比较多。所以就索赔次数看，对女驾驶员似乎应征收更多的保费。但在男驾驶员发生事故中，损失往往比较大。所以总的来看，还是男驾驶员的赔款额大。对女驾驶员征收的保费应该比男驾驶员少。当然，若平均赔款额相等，则在识别和处理风险异质性时，索赔次数数据的讨论和赔款额数据的讨论是相互等价的。
在风险异质时，按贝叶斯统计推断的理论，Poisson分布P???称为在?给定后，索赔次数X的条件分布，而(5.2.1)式是索赔次数为k的条件概率，记为
?k??P?X?k|???e,k?0,1,2,? (5.2.3)
k!则
E?X|???Var?X|????
?的结构函数记为????。则
E?X??E?E?X|????E???
根据定理5.2.1，我们有
Var?X??E?Var?X|????Var?E?X|????E????Var?E?X|???
?E?X??Var?E?X|????E?X?
所以在风险异质时，方差比均值大。而在风险同质时，?取某个固定的值，比如?0。风险X服从Poisson分布P??0?。则E?X??Var?X???0。所以在风险同质时，方差等于均值。方差比均值大，还是方差等于均值，这是风险异质和同质的一个显著区别。所以识别风险异质性的问题，可以转化为方差是否比均值大的问题。若方差比均值大，则认为风险有异质性。
由表5.2.1所列的数据，算得样本均值和样本方差分别为
x?5,789?2?1,443?3?457???0.3176
35,0725,789?22?1,443?33?457??s??0.31762?0.4913
35,0722根据统计假设检验的理论，我们只有在样本方差比样本均值显著地大的时候，才认为方差比均值大。
可以证明(证明从略)：在风险同质时，ns2x?1的渐近分布为正态分布N?0,2?。由此渐近正态性，我们得到了识别风险异质性的检验方法，如下所述。
首先给定检验的水平?，0???1。常取?为一些标准化的数，如0.10，0.05，0.01等。如果
????2?s2?x?1?U1??? (5.2.4) ?n??我们在水平?下，认为方差比均值大，风险有异质性。如本章第一节所述的，U1??是标准正态分布N?0,1?的1??分位点。在??0.10,0.05,0.01时，U0.90?1.28，U0.95?1.64，
U0.99?2.33。
由表5.2.1所列的数据，算得的样本均值和样本方差分别为x?0.3176和s?0.4913。由于n?35072，所以在??0.10,0.05,0.01时，(5.2.4)式都是成立的。故我们认为方差比均值大。表5.2.1所列的数据具有异质性。 5.2.4索赔次数数据风险异质时的结构函数
下面讨论在索赔次数数据具有异质性时，如何构造结构函数的问题。?的结构函数可取为离散型分布，也可取为连续型分布。连续型分布似乎比离散型分布复杂，其实不然。即使当?的结构函数为仅取两个值的离散型分布
2? ?1 p ?2 1?p ???? 基于历史经验数据，计算?1，?2和p的估计值的过程是很复杂的。若取?的结构函数为连续型分布，则由贝叶斯统计推断的理论，我们将这个连续型分布取为伽玛分布，其密度函数