?530,730(元)
前一类投保人的风险状况比较好，其索赔次数的分布为Poisson分布P?0.1?，总的保费收入449,910元。后一类投保人的风险状况比较差，其索赔次数的分布为Poisson分布P?0.2?，总的保费收入530,730元。平均而言，后一类投保人的平均损失是前一类投保人的两倍，但后一类投保人总的保费收入仅比前一类投保人多收了18%。这一不公平的现象说明，NCD系统在处理风险的异质性，区分两个不同风险的保单时，所起的作用是不大的。
由表5.5.1和5.5.2可以看到，绝大多数的投保人集中在折扣率最高的等级。产生此种情况的原因，就在于p0很大。由于p0是没有赔案发生的概率，所以当p0很大，接近1时，
2恰有一件赔案发生的概率p1就很小。从而，p0p1?0，p30p1?0。据(5.5.5)式，得稳定分
布近似为
??1?1?p0???p?1?p?00?2???p2?1?p?00?3 ?3??4?p0?1?p0????p4?1?p?00?5???p50?6由于1?p0很小，所以?6比?i(i?1,?,5)大得多。因此在折扣率最高等级集中了绝大多数的投保人。p0越大，折扣率最高等级的投保人越多。 5.5.5 避免小额赔款
在避免小额赔款方面，NCD系统是有所作用的。损失发生后，保单持有人就会考虑一个问题，要不要报案。若报案，虽然可以得到赔款，补偿损失，但有可能要降低折扣率优惠，缴纳更多的保费。若不报案，虽然损失得不到补偿，但有可能享受更高的折扣率优惠，少缴纳保费。所以当赔款额较小时，保单持有人往往不报案，以损失自负来换取更高的折扣优惠。NCD系统可避免小额赔款，降低索赔成本和管理费用。
在转移概率矩阵(5.5.1)和(5.5.2)中的p0和p1分别定义为，没有发生赔案和恰发生一件赔案的概率。如果避免了小额赔款的发生，p0应理解为没有发生赔案和发生了赔案，但没有报案的概率，p1应理解为恰发生了一件赔案，而且报案的概率。显然，没有发生赔案和发
生了赔案，但没有报案的概率比没有发生赔案的概率大。所以，避免了小额赔款之后，p0变大了，从而导致有更多的投保人集中在折扣率最高的等级。NCD系统在避免小额赔款发生的同时，增加了在折扣率最高等级的保单比重。
自NCD系统推出之后，有关它的争论从没有间断过。目前，比较多的人认为，NCD系统在处理风险的异质性方面并没有多大的作用。但是许多国家和地区，许多汽车保险公司至今都在采用NCD系统。看来，不实行NCD系统的汽车保险公司，要想获得市场一定的份额、有力地吸引更多的投保人是不太可能的。
除了无赔款折扣优惠外，保险公司还有其他一些类别的折扣优惠。例如安全装置折扣优惠。如果你的汽车附加了气囊、盗窃报警器和反锁制动装置等，你就可享受折扣优惠。安全装置的作用是有目共睹的。1959年尼尔斯-博林发明的安全带，挽救了数不清的生命。瑞典是世界上道路交通最安全的国家之一。他的百万居民年车祸死亡人数仅为9人。从1974年起，瑞典就规定驾车者必须系安全带。1986年后，瑞典更进一步规定，乘客也要系安全带。系安全带是瑞典道路交通安全的一个主要的原因。保险公司除安全装置折扣优惠外，还有多重保险折扣优惠。如果你在同一家保险公司购买了不同类型的其他保险，或者家庭成员都在同一家保险公司购买汽车险，就可享受折扣优惠。种种折扣优惠都是为了吸引更多的投保人。至于折扣优惠到什么程度，需要根据历史观察数据和经验精确地计算。 本章总结
对保险公司而言，征收的保费要足够多，能用以支付未来的赔款和公司的管理费用，以及获取利润。对投保人而言，希望被征收的保费是公平的，和自己风险水平相符，而当风险比较差的投保人缴付的保费比自己少的时候，会感到不公平。这就是所谓的保单公平性原则。本章介绍的信度保费，以及无赔款折扣优惠系统是保险公司为达到保单公平性原则的两个重要的方法。
为了计算信度保费和无赔款折扣优惠系统，首先需要识别风险的异质性，以及在风险异质时将风险分类。本章通过实例说明，识别风险异质性是非常重要的，并重点介绍了如何由索赔次数数据，识别和处理风险异质性的方法和步骤。
从二十世纪初到现在，信度理论从早期的有限扰动信度理论，到现代的以贝叶斯统计推断理论为基础的最精确信度理论。本章依次介绍这些理论，并以现代信度理论中的Buhlmann信度模型和Buhlmann - Straub信度模型为重点。根据信度理论厘定的信度保费P，是风险相
同的历史经验数据的样本平均与总的平均，或与人们根据实践经验，通过合理的推测和判断得到的保费的加权平均。信度因子z表示样本平均在保费P中的权重。
根据投保人自身的赔付情况征收保费的NCD（无赔款折扣优惠）系统，尽管人们对它的评价不一，但它在世界各国的汽车保险市场非常盛行。要想获得汽车保险市场一定的份额，不实行NCD系统是不行的。 关键词
有限扰动信度理论 完全可信性条件 部分可信性 风险异质 结构函数 混合分布 Poisson分布 伽玛分布 负二项分布 最精确信度理论 贝叶斯保费 Buhlmann信度模型 假设均值 过程方差 总的均值 同质方差 异质方差 结构参数 信度保费 信度因子 Buhlmann - Straub信度模型 权重 NCD（无赔款折扣优惠）系统 转移规则 转移概率矩阵 稳定分布 参考文献
1. 霍萨克等著，王育宪等译，非寿险精算基础，中国金融出版社，1992年。 2. 谢志刚、韩天雄编著，风险理论与非寿险精算，南开大学出版社，2000年。 3. 成世学，关于可信性模型的若干评注，应用概率统计，2002年第四期。
4. 郑苏晋、成世学，NCD系统的数学建模与稳态分析，应用概率统计，2003年第一期。 5. Gary G. Venter, Chapter 7 Credibility in Foundations of Casualty Actuarial Science, 1996,
Casualty Actuarial Society.
练习题
1. 某一风险的平均赔款额为3100元，标准差为4200元。取??0.10，??0.05。当样本
容量n多大时，完全可信性条件成立。
2. 某一风险的索赔次数的均值为0.189，标准差为0.087。取??0.05，??0.10。当样本
容量n多大时，完全可信性条件成立。
3. 假设某一险种有50项索赔记录，索赔额的均值为1,216，方差为362,994。取??0.10，
??0.10。试根据部分可信性理论，计算信度因子Z。若由人们先前的经验，给出的定
价为M = 1,000(元)，试计算保费。
4. 对例5.2.1中我国某家保险公司1996年的35,072辆投保机动车的索赔次数的统计结果，
本章用两个Poisson分布的混合进行了拟合。请试用三个Poisson分布的混合进行拟合。经计算，这三个Poisson分布分别为P?0.1129?、P?0.6692?、P?2.1556?，来自于
P?0.1129?的比例为0.7218，来自于P?0.6692?的比例为0.2447，来自于P?2.1556?的
比例为0.0335。试比较二个Poisson分布的混合和三个Poisson分布的混合的拟合情况。 5. 某家保险公司的2,612辆投保车辆的索赔次数数据见下表：
索赔次数 0 1 2 3 4+ 合计 车辆数 1937 584 90 1 0 2,612 (1) 试根据(5.2.4)式，判断该车辆险的风险是否异质。
(2) 若风险同质，试列表比较实际频数和Poisson分布的拟合频数。
(3) 若风险异质，取伽玛分布为结构函数，用负二项分布拟合索赔次数数据，试求伽玛
分布参数的估计值，并列表比较实际频数、Poisson分布的拟合频数和负二项分布的拟合频数。
6. 某家汽车保险公司的汽车索赔次数数据见下表：
索赔次数 0 1 2 3 4 5 6 7+ 车辆数 103,704 14,075 1,766 255 45 6 2 0 (1) 试根据(5.2.4)式，判断该车辆险的风险是否异质。
(2) 若风险同质，试列表比较实际频数和Poisson分布的拟合频数。
(3) 若风险异质，取伽玛分布为结构函数，用负二项分布拟合索赔次数数据，试求伽玛
分布参数的估计值，并列表比较实际频数、Poisson分布的拟合频数和负二项分布的拟合频数。
7. (定理 5.3.1的推广) 在?给定后，假设X1,?,Xn,Xn?1独立同分布，是来自于总体X
的样本，X的密度为f?x|??。假设?的先验密度为????。令?????E[g?X?|?]。那么
E?g?Xn?1?|X1,?,Xn??E?????|X1,?,Xn?
8. (练习4的续) 在?的结构函数为仅取三个值的离散型分布(见练习4)时，计算结构参数
?，v和a的值。
9. 假设某保险公司有四份保单。他们的风险特征互不相同。前7年的逐年赔款的记录记为
xi1,?,xi7，i?1,?,4。经计算，有
??xij?xi447i?1j?1??2?33.60，xi??7j?1xij7
i?124??xi?x??3.30，x??i?1xi4
试计算信度因子z的值。
10. 假设某保险公司有三份保单。他们的风险特征互不相同。第一份保单有5个历史经验数
据：x11,?,x15。经计算，有x1??5j?1x1j5?2.5，?x1j?x1?4.3。第二份保单
j?15??2有4个历史经验数据：x21,?,x24。经计算，有x2??4j?1x2j4?4.4，
j?1?x2j?x24??2?3.9。第三份保单有6个历史经验数据：x31,?,x36。经计算，有
62 x3??6j?1x3j6?6.5，??x3j?x3??3.7。试计算各组的信度因子和信度保费的值。
j?111. 试证明，在Buhlmann - Straub信度模型中，定理5.3.2仍旧成立，即CovXi,Xj?a。
但是(5.3.2)式，要推广为，Var?Xi??vwi?a。 12. 现有历史经验数据：
1 第1组 第2组 投保人数 平均赔款额 投保人数 平均赔款额 试计算各组下一年的信度保费。
8 96 25 113 年份 2 12 91 30 111 3 5 113 20 116 ??13. 某汽车保险公司年轻驾驶员和成年驾驶员的投保人数和平均赔款额逐年统计数据如下：
投保人数
年份 1998 1999 2000 2001 成年驾驶员 2000 1000 1000 1000 平均赔款额(单位：百元)
年份 1998 1999 2000 2001 成年驾驶员 1 4 6 3 年轻驾驶员 - 12 11 15 年轻驾驶员 - 200 175 125 试计算年轻驾驶员和成年驾驶员下一年的信度保费。
14. 某一NCD系统有三个折扣率等级：0%，30%和50%。转移规则如下：
(1) 如果一年间没有赔案，保单持有人将升高一个折扣率等级，或停留在最高折扣率等
级。
(2) 只要一年间有赔案发生，保单持有人将降低一个折扣率等级，或停留在最低折扣率
等级。
令p0表示一年间没有赔案发生的概率。求转移概率矩阵。
15. (练习14的续) 假设索赔次数服从Poisson分布为P?0.05?。如果开始的时候有10,000
个投保人，他们全都享受最高折扣率优待，则一年后他们在各个折扣率等级的人数是多少？假设他们都续保了，则再一年后他们在各个折扣率等级的人数是多少？如果他们年年续保，试求他们在各个折扣率等级的稳定人数。这时，他们的平均保费是多大的折扣率？
16. (练习15的续) 又假设索赔次数服从Poisson分布为P?0.15?。试求这10,000个投保人在
各个折扣率等级的稳定人数。他们的平均保费是多大的折扣率？和练习15的结果作比较，试说明NCD系统在辨别风险的高和低，处理风险的异质性方面的作用如何？