第七章 信源编码
7-1已知某地天气预报状态分为六种：晴天、多云、阴天、小雨、中雨、大雨。
① 若六种状态等概出现，求每种消息的平均信息量及等长二进制编码的码长N。 ② 若六种状态出现的概率为：晴天—0.6；多云—0.22；阴天—0.1；小雨—0.06；中雨—0.013；大雨—0.007。试计算消息的平均信息量，若按Huffman码进行最佳编码，试求各状态编码及平均码长N。 解: ①每种状态出现的概率为
1Pi?,i?1,...,6
6因此消息的平均信息量为
I??Pilog2i?1?61?log26?2.58bit/消息 Pi等长二进制编码的码长N＝?log2L??1??log26??1?3。 ②各种状态出现的概率如题所给，则消息的平均信息量为
I??Pilog2i?1?61Pi??????0.6log20.6?0.22log20.22?0.1log20.1?0.06log20.06?0.013log20.013?0.007log20.007????1.63bit?/消息 Huffman编码树如下图所示：
由此可以得到各状态编码为：晴—0，多云—10，阴天—110，小雨—1110，中雨—11110， 大雨—11111。 平均码长为：
N??niPii?1—6?????1?0.6?2?0.22?3?0.1?4?0.06?5?0.013?5?0.007 ?????1.68
7-2某一离散无记忆信源（DMS）由8个字母Xi(i?1,2,???,8)组成，设每个字母出现的概率分别为：0.25，0.20，0.15，0.12，0.10，0.08，0.05，0.05。试求： ① Huffman编码时产生的8个不等长码字； ② 平均二进制编码长度N； ③ 信源的熵，并与N比较。
解：①采用冒泡法画出Huffman编码树如下图所示
可以得到按概率从大到小8个不等长码字依次为：
X1?10,X2?00,X3?100,X4?011,X5?1111,X6?1110,X7?0101,X8?0100
②平均二进制编码长度为
N??niPii?18??????2?0.25?2?0.20?3?0.15?3?0.12?4?0.1?4?0.08?4?0.05?4?0.05 ??????2.83③信源的熵H(x)???Plogii?182Pi?2.79。
比较：H(x)?N?H(x)?1
7-3一离散无记忆信源每毫秒输出符号集{A，B，C，D，E，F，G，H}中的一个符号，符号集中各符号出现的概率分别为{0.01，0.03，0.35，0.02，0.15，0.18，0.19，0.07}。 ①试求信源的熵；
②进行Huffman编码；
③求平均信源编码输出比特速率；
④在有和无信源编码时所需的最小二进制信道比特速率。 解：①信源的熵为
H(x)???Pilog2Pii?18
??????????2.44?bit/符号②Huffman编码树如下图所示
可以得到各符号的Huffman编码为：A—011111，B—01110，C—00，D—011110，E—010，F—11，G—10，H—0110。 ③已知码元速率为RB?1?符号/s，而码元平均信息量（即信源熵）为?310H(X)?2.44?bit/符号，因此平均信源编码输出比特速率为
Rb?RB?H(x)?2.44?103?bit/s
④ 对于信源总共8个符号，无信源编码时，每个符号最少用3bit表示，因此最小二进制信道比特速率为
R'b?13?3?3?10?bit/s ?3103有信源编码时，最小二进制信道比特速率为Rb?2.44?10?bit/s。
7-4某一DMS有5种信源符号，每种符号出现的概率均为1/5，试计算以下几种编码情况下
的有效性（效率）。
① 每个符号分别进行等长二进制编码； ② 每两个符号组合进行等长二进制编码； ③ 每三个符号组合进行等长二进制编码。
解：编码效率?定义为每符号信息量H(x)与每符号平均编码长度N的比值。对于等长编码的扩展编码，编码效率可表示为
??log2LH(x) ?1N[log2L]?J其中L?5表示符号数，J表示对连续J个符号统一编码。 ①J?1,??77.4% ②J?2,??92.88% ③J?3,??99.51%
7-5已知基带信号为f?t??cos?1t?cos2?1t，对其进行理想抽样，并用理想低通滤波器来接收抽样后信号。
① 试画出基带信号的时间波形和频谱； ② 确定最小抽样频率；
③ 画出理想抽样后的信号波形及频谱。
解：①基带信号可表示为f(t)?2cos(?1t)cos(?1t)，可将cos(?1t)视作低频包络，将cos(?1t)视作高频振荡，作图如下：
②fs?2fm?4f1。
③基带信号f(t)由两个余弦信号相加构成，因此其频谱为两对离散谱线，如下图所示：
7-6已知信号x(t)?4cos30?t。
①画出用冲激序列对其抽样后的频谱，抽样速率如下： （a）35样值/秒 （b）15样值/秒 （c）10样值/秒
②假设进行以上抽样后的信号通过一重建低通滤波器，低通滤波器的传递函数为 H(f)??(12321232f) 32求出每种情况下的输出信号。当抽样信号中存在混叠时，指出输出信号中哪些是混叠成分，哪些是所希望的信号成分。
解：x(t)?4cos30?t，信号角频率?0?30??rad/s，信号频率f0?15?Hz。
（a）抽样频率fs?35?Hz，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱Xs(?)如下图所示：
再经过重建低通滤波器H(f)，得到输出信号为
Y1(?)?4?[?(??2??15)??(??2??15)??(??2??20)??(??2??20)]
y1(t)?4cos(30?t)?4cos(40?t)
??????????希望信号成分混叠成分（b）抽样频率fs?15?Hz，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱Xs(?)如下图所示：
再经过重建低通滤波器H(f)，得到输出信号为
Y2(?)?4?[2?(?)?2?(??2??15)??(??2??15)?2?(??2??30)?2?(??2??30)]
y2(t)??8cos(30?t)?8cos(60?t)
??????????混叠成分4?希望信号成分混叠成分（c）抽样频率fs?10?Hz，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱Xs(?)如下图所示：
再经过重建低通滤波器H(f)，得到输出信号为
Y3(?)?4?[2?(??5?2?)?2?(??5?2?)??(??2??15)??(??2??15)??????????????(??2??25)??(??2??25)]y3(t)?8cos(10?t)?4cos(30?t)?4cos(50?t)
???????????????混叠成分希望信号成分混叠成分
7-7已知信号f(t)的最高截止频率为fm，若用图E7.1所示的q(t)对f(t)进行自然抽样，q(t)是周期为T?1/2fm的周期三角波。试确定已抽样信号的频谱表示式，并画出其示意图。
图E7.1
2?解： Q(?)??[q(t)]??[Sa()]?2T2??2???(??n?s)??Tn????n????Sa(2?n?s?)?(??n?s) 2其中fs?1，令fs?2fm，则?s?2?fs?2?m。 T1?则已抽样信号频谱Fs(?)?F(?)*Q(?)?2?T作图如下
n????Sa(n??)F(??2n?2m?m)。
7-8已知低通信号最高频率为fH，若用高度为1、宽度为?、周期为
1的周期性三角脉2fH冲对其进行自然取样。
①画出已抽样信号的波形图；
②求已抽样信号的频谱，并画出频率草图（低通信号及其频谱的形状可自己假设）； ③若改为用周期性冲激函数进行抽样，重复步骤①、②，并比较两者在波形和频谱上的差别。 解：① 低通信号f(t)、周期三角脉冲信号SN(t)及已抽样信号fN(t)的时域波形分别如下所示
?P(?)?② 三角脉冲及其频谱可表示为p(t)??其频谱可表示为
??2Sa2(??4)，则周期三角脉冲信号及
SN(t)?k??????p(t?k?1) 2fHSN(?)??H?n????Sa2(n?0?2?2???2?H )??(??n?0)，其中?0?T1/2fH4因此已抽样信号的频谱为
1F(?)?SN(?)2??n??????????????fH??Sa2(0)F(??n?0)
4n????n???????????????fH??Sa2(H)F(??2n?H)2n???FN(?)?作出频谱草图如下所示：
③ 周期性冲激函数可表示为
?T(?)?2?T??(??n?0)|n?0?2??2?HT?2?T??(??2n?nH)
可以做出低通信号f(t)、周期性冲激函数?T(t)及已抽样信号f?(t)的时域波形分别如下所