实验三 快速傅里叶变换及其应用
杨阳 04011003
一、实验目的
（1）加深对FFT的理解，熟悉matlab中的有关函数。 （2）应用FFT对典型信号进行频谱分析。
（3）了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT. （4）应用FFT实现序列的线性卷积和相关。
二、实验内容
实验中用到的信号序列：
（a）高斯（Gaussian）序列 （b）衰减正弦序列
??(n?p)q?xa(n)??e??0
20?n?15其它?e?ansin(2?fn)xb(n)???0
0?n?15其它
（c）三角波序列 （d）反三角波序列
?n?xc(n)??8?n?0?
0?n?3?4?n?4?n?7xd(n)??n?4?0其它?
0?n?34?n?7其它
上机实验内容：
（1）观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号Xa(n)中参数p=8,改变q的值使q分别等于2、4、8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性的影响；固定q=8，改变p,使p分别等于8、13、14，观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性的影响，注意p等于多少时会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 答：固定p，改变q时：
p=8,q=2 时域特性14p=8,q=2 幅频特性时域0.50051015频域20051015np=8,q=4 时域特性14kp=8,q=4 幅频特性时域0.50051015频域20051015np=8,q=8 时域特性110kp=8,q=8 幅频特性时域0.5005n1015频域5005k1015
由上图可以看出，P不变，随着q值的增大，时域信号幅值变化缓慢时域幅度对应变大,波形变胖，低频分量变多，频域信号频谱泄露程度减小。 固定q，改变p时：
p=8,q=8 时域特性110p=8,q=8 幅频特性时域0.50051015频域50051015np=13,q=8 时域特性15kp=13,q=8 幅频特性时域0.50051015频域0051015np=14,q=8 时域特性14kp=14,q=8 幅频特性时域0.5005n1015频域2005k1015
由上图可以看出：
当q不变，随着p的增大，时域信号幅值不变，会在时间轴移位，对应右移,可见p决定了波形位置。 当p=13时，x(n)被截断，出现了明显的泄漏，边缘幅度与x1(k)不同，因
而带有混叠现象。
(2)观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1，f=0.0625，检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原因。 答：matlab绘图如下：
f=0.0625 时域特性14f=0.0625 幅频特性时域0-1051015频域20051015nf=0.4375 时域特性14kf=0.4375 幅频特性时域0-1051015频域20051015nf=0.5625 时域特性14kf=0.5625 幅频特性时域0-105n1015频域2005k1015
分析：由以上实验所得的图形可知，当a=0.1,f=0.0625时吗，频谱主瓣较宽，呈现主瓣中间较为平缓，两侧较高的想象，采样频率f太小，导致谱峰出现的位置不正确。当a=0.1，f分别等于0.4375，0.5625时，随着采样频率f的增大，频谱主瓣越来越窄，频谱中间较大，两侧较小，谱峰出现在w=7和9附近，混叠和泄漏现象相对减轻。且当f=0.5625时产生混叠现象，因为其f>0.5,不满足奈奎斯特采样定理。 (3)
A、观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。 答：matlab绘图如下：
三角波时域特性432015三角波幅频特性时域210频域046n反三角波时域特性28105004346k反三角波幅频特性282015时域210频域024n681050024k68
分析：由实验所得的图形知，现对称趋势，而势，
xc(n)的时域序列在n=4时取得最大值，两侧依次减小，且呈
xd(n)序列则相反，在n=4时，取得最小值，两侧依次增大，且呈现对称趋
xc(n)和
xd(n)的幅频特性曲线基本相同。
B、在xc(n)和xd(n)末尾补零，用N=32点FFT分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？两情况的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明了什么？ 答：
三角波幅频特性2015频域105005101520253035k反三角波幅频特性2015频域1050051015k20253035
和
分析：N=32时，反三角波的低频分量增多，
xc(n)xd(n)的幅频特性都更加密集，频谱差
别较大，但总体趋势仍然都是中间出现最小，两侧呈现对称趋势。对信号末尾补零加长整数个周期可以对原信号达到细化频谱的作用。
(4) 一个连续信号含两个频率分量，经采样得x(n)=sin[2π*0.125n]+cos[2π*(0.125+Δf)n] n=0,1……,N-1已知N=16，Δf分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，Δf不变，其结果有何不同，为什么？ 答：