①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．
因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．
同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．
同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．
③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．
4．三角函数的奇偶性，单调性
研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．
5．三角函数的图象
(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象． (2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx 图象的对称中心分别为
∈Z)的直线． （三）思想方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用―1‖的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=
???2－
???2等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
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22（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a?bsin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?=
b确定。 a（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan
?的有理式。 22.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的―差异分析‖。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 （四）注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．
2．三角变换的一般思维与常用方法．
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
?1??(???)???(???)???2???2?．也要注意题目中所给的各角之间的关系．
22注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等． 熟悉常数―1‖的各种三角代换：
1?sin2??cos2??sec2??tan2??cos??sec??sin注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为tan数运算比较繁．
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如
sin α = tan α · cos α ，1?cos??2cos2?2?cos0?tan?4?2sin?6等．
?2的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代
?2，
1?cos???tan等．
sin?2利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如1?cos??2sin222?2，
????????1?sin???sin?cos?，1?sin???sin?cos?等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化
22?22???简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．
3．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
???1±sin α 可化为1?cos????，再用升次公式；
?2?basin??bcos??a2?b2sin?????（其中 tan??）这一公式应用广泛，熟练掌握．
a4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是―平移‖单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
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5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用―五点法‖作图的基本原理以及快速、准确地作图．
6.三角函数的奇偶性
―函数y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函数‖．是否正确．
分析：当???2时，y?sin?x???????cosx，这个函数显然是偶函数．因此，这个判断是错误的．我2?们容易得到如下结论：
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数???k??k?Z?．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数???k??③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数???k??④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数???k?7.三角函数的单调性
―正切函数f (x) = tan x，x?k???2?k?Z?． ?k?Z?．
?2?k?Z?．
?2?k?Z?是定义域上的增函数‖，是否正确．
分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：
??????任取x1??0，?，x2??，??，显然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，与增函数的定义相违背，因此
2???2?这种说法是不正确的．
观察图象可知：在每一个区间?k??f (x ) = tan x在其定义域上是增函数． （Ⅱ）范例分析 例1、已知tan?????2，k?????2??k?Z?上，f (x ) = tan x都是增函数，但不能说
2，求（1）
cos??sin?22；（2）sin??sin?.cos??2cos?的值.
cos??sin?sin?cos??sin?cos??1?tan??1?2??3?22； 解：（1）?sin?1?tan?1?2cos??sin?1?cos?sin2??sin?cos??2cos2?22 (2) sin??sin?cos??2cos?? 22sin??cos?sin2?sin???222?2?24?2 ?cos?2cos?. ??sin?2?13?1cos2?1?说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2、已知函数f(x)=tan(
?3sinx)
（1）求f(x)的定义域和值域；
（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan
2π在区间（－π，π）上解的个数。 3
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解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ －
且 （－
?3≤
?3sinx≤
?3。又函数y=tanx在x=kπ+
?(k∈Z)处无定义， 2????，）[－,]（－π, π）， 22333??∴令sinx=±，则sinx=±
223?解之得：x=kπ± (k∈Z)
3?∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}
3???∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=sinx的值域B满足
2213??（－，）B
22∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。
（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=设t=
?????)∪（，）∪（，π）时，t∈[0, )∪(,]，且以t为
33332233???自变量的函数y=tant在区间（0，），（，]上分别单调递增。
223???又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0, )
323?????当x∈（，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈（, ]
32233??2???当x∈[，sinx单调递减，且t∈（, )时，函数t=]
32233?2??当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）
323?????2?2?∴f(x)=tan(sinx)在区间[0，),（,]上分别是单调递增函数；在[,),(,?)上是单
33223313sinx，则当x∈[0,
调递减函数。
又f(x)是奇函数，所以区间（－是f(x)的递减区间。
故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－区间为[??,???2?和x=处无定义。
332?2????2?2??，0]，[－，－)也是f(x)的单调递增区间[??,?),(?,?]323332??????，－)，（－，），（，]单调递减2333322?2?2?2?),(?,),(,?)。 33332（3）由f(x)=tanπ得：
3 58
tan(?3sinx)=tan(22?π)?sinx=kπ+π （k∈Z） 3336(k∈Z)① 3?3?23?2又∵－1≤sinx≤1，∴ ?k?33?sinx=k3+
∴k=0或k= －1
当k=0时，从①得方程sinx=
6 3当k=1时，从①得方程sinx= －3+显然方程sinx=π）上共有4个解。
6 3662,sinx= －3+，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tanπ在区间（－π，333说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=
?3sinx的值域
与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复
合函数单调性等。
???例3 、已知函数f?x???acos2x?23asinxcosx?2a?b的定义域为?0，?，值域为 [ －5，1 ]，求
2??常数a、b的值．
解：∵ f?x???acos2x?3asin2x?2a?b，
?????2acos?2x???2a?b ．
3??1?????2??∵ 0?x?，∴ ??2x??，∴ ? ?cos?2x?? ?1．
23?2333?当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b，
?3a?b?1，?a?2，∴ ? 解得 ?
b??5.b??5.??当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．
?3a?b??5，?a??2，∴ ? 解得 ?
b?1.b?1.??故a、b的值为 ??a?2 或
b??5??a??2 ?b?1?说明：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变
化对值域的影响．
例4、设f(x)?asin?x?bcos?x(??0)的周期T??，最大值f(?12)?4，
（1）求?、a、b的值；
???)的值. （2）若?、、?为方程f(x)?0的两根，?、、?终边不共线，求tan(解：(1) f(x)?a2?b2sin(?x??)， ?T??， ???2， 又 ?f(x)的最大值
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