3．已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________. 三、解答题
4．已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3. (1)求p的值； (2)若f(x)=
px?1px?1，解关于x的不等式f-1(x)＞logp－
1?x(k∈R+) k5．设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=≤2x2+2x+
17，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+≤f(x)223对一切实数x都成立，证明你的结论. 26．已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2. (1)求p、q之间的关系式； (2)求p的取值范围；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sinθ)的最小值. 7．解不等式loga(1－
1)＞1 x8．设函数f(x)=ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围.
不等式的解法练习2参考答案
一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：
?a?1???1?a?1??a??1 ① 或? ② 或?1 ③ ?22a?2?1?1?1?(a?1)?1??a??1＜a＜1，解③得x∈? 21∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－，1）
2解①得a＜－2，解②得－答案：C 二、
2.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0
ba2的解集是(－,?).由f(x)·g(x)＞0可得：
22第 26 页 共 45 页
?a2?x?b??b?x??a2?f(x)?0?f(x)?0??或?,即?a2或?b?ba2 g(x)?0g(x)?0???x?????x??2?22?2∴x∈(a2，
bb)∪(－，－a2) 22bb)∪(－，－a2) 22答案：(a2，
3.解析：原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得??f(?1)?0解得a∈［－2，2］.
?f(1)?0答案：［－2，2］ 三、
4.解：(1)∵适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3， ∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.
若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.
∴原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.
(2)f(x)=
8x?18x?1，∴f-1(x)=log8
－
1?x (－1＜x＜1)， 1?x∴有log8
1?x＞log81?x，∴log8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k. 1?xk∵－1＜x＜1，k∈R+，∴当0＜k＜2时，原不等式解集为{x|1－k＜x＜1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}.
5.解：由f(1)=f(－1)≤
3. 217733得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x?x=－1，由f(x)≤2x2+2x+推得 22222由f(x)≥x2+
1333推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，故
222255且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a). 222(a+c)=5，a+c=
依题意：ax2+x+(
15－a)≥x2+对一切x∈R成立， 22∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，
第 27 页 共 45 页
∴f(x)=
32
x+x+1 2323x+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立. 22313∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成
222易验证：立.
6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即当x∈［－1，1］时，f(x)≤0，当x∈［1，3］时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)
(2)f(x)=x2+px－(1+p)，
当sinθ=－1时f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0
(3)注意到f(x)在［1，3］上递增，∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.
此时，f(x)=x2+3x－4，即求x∈［－1，1］时f(x)的最小值.又f(x)=(x+此函数在［－1，1］上递增.
∴当x=－1时f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6. ?1???7.解：(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组??1???1?0x 1?ax3225)－，显然24由此得1－a＞
11.因为1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0. x1?a1?0x 1?ax?1???(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：??1???①
由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜
11，∴1＜x＜. 1?a1?a综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|为{x|1＜x＜
1＜x＜0}，当0＜a＜1时，不等式的解集1?a1}. 1?a8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1]恒成立.
2??3mx?1?1?mx?x在x∈(0，1]恒成立. ??2??1?mx?x?m?2第 28 页 共 45 页
2??2x?1?x整理，当x∈(0，1)时，?恒成立， 2??m(x?1)?x?1?1?x2m??2??2x?2mx?1?x即当x∈(0，1]时，?恒成立，且x=1时，?恒成立， 22??m?x?1?m(x?1)?x?1?x?1?1?x21x1?x2∵??在x∈(0，1]上为增函数，∴?0，
2x2x22x1?x2∴m＜恒成立?m＜0.
2xx2?12又∵?(x?1)??2，在x∈(0，1]上是减函数，?
x?1x?1x2?1∴＜－1.
x?1?1?x2?m?x2?1?2x∴m＞恒成立?m＞－1当x∈(0，1)时，?恒成立?m∈(－1，0)①
2x?1?m?x?1?x?1?2??m?0?2mx?1?x当x=1时，?，即是?∴m＜0
20?1???m(x?1)?x?1
②
∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1]时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)
【不等式的证明练习】
一、填空题
1．已知x、y是正变数，a、b是正常数，且
ab?=1，x+y的最小值为__________. xy2．设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.
3．若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________.
二、解答题
4．已知a，b，c为正实数，a+b+c=1. 求证：(1)a2+b2+c2≥
1 3第 29 页 共 45 页
(2)3a?2?3b?2?3c?2≤6
5．已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=6．证明下列不等式：
(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz， 则
y?zz?xx?y111??≥2(??) xyzxyz12，证明：x，y，z∈［0，］ 23b?c2c?a2a?b2
z≥2(xy+yz+zx) x?y?abc7．(2001全国)已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n. (1)证明：niAim＜miAin； (2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1.
参考答案
一、1.解析：令
ba=cos2θ，=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ
yx+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2??bcot2??a?b?2ab.
答案：a+b+2ab
2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|?(a－d)2＜(b－c)2?(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc? ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc. 答案：ad＞bc
3.解析：把p、q看成变量，则m＜p＜n，m＜q＜n. 答案：m＜p＜q＜n
二、4.(1)证法一：a2+b2+c2－=
11=(3a2+3b2+3c2－1) 331［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］ 31=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ 311=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥ 33证法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
第 30 页 共 45 页