设EA=x，EC=2x， 由勾股定理得：x+4x=16， x=即CE=
（负数舍去），
．
2
2
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定
的应用，主要考查学生的推理能力． 25．（11分）（2015秋?常州期末）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，0），以点M为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． （1）△AOD与△COB相似吗？为什么？
（2）如图2，弦DE交x轴于点P，且BP：DP=3：2，求tan∠EDA；
（3）如图3，过点D作⊙M的切线，交x轴于点Q．点G是⊙M上的动点，问比值否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．
是
【分析】（1）如图1，根据对顶角相等得到∠AOD=∠COB，根据圆周角定理得到∠ADO=∠OBC，则可判断△AOD∽△COB； （2）连结AE、BE、MD，如图2，先计算出OD=2，再利用勾股定理计算出OD=4，AD=2，接着证明△PBE∽△PDA，利用相似比可计算出BE=3，然后根据勾股可计算出AE=，再利用正切的定义得到tan∠ABE=
，于是得到tan∠EDA=
；
（3）如图3，连结MD、MG，根据切线的性质得∠MDQ=90°，由∠ODM=∠OQD，则可判断Rt△ODM∽Rt△OQD，利用相似比可计算出OQ=得
=
=；当G点与B点重合时，
=；
，讨论：当G点与A点重合时，易
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当G点不与A、B重合时，先证明△MOD∽△MDQ得到即MD=MO?MQ，由于MD=MG，
2
则MG=MO?MQ，加上∠OMG=∠GMQ，则可判断△MOG∽△MGQ，利用相似比可得=
=，于是得到
的值不变，比值为．
2
【解答】解：（1）△AOD与△COB相似．理由如下： 如图1，
∵∠AOD=∠COB，∠ADO=∠OBC， ∴△AOD∽△COB；
（2）连结AE、BE、MD，如图2， ∵点M的坐标为（3，0），MA=MB=MD=5， ∴OD=2，
在Rt△ODM中，OD=在Rt△OAD中，AD=
=2
=4， ，
∵∠PEB=∠PAD，∠PBE=∠PDA， ∴△PBE∽△PDA， ∴
=
=，
=3
，
∴BE=×2
在Rt△ABE中， AE=∴tan∠ABE=
==
=
，
=
，
∵∠EDA=∠ABE， ∴tan∠EDA=
；
（3）如图3，连结MD、MG， ∵DQ为切线， ∴MD⊥QD， ∴∠MDQ=90°， ∵∠ODM=∠OQD，
∴Rt△ODM∽Rt△OQD，
∴OD：OQ=OM：OD，即4：OQ=3：4， ∴OQ=
，
=
=
=；
当G点与A点重合时，
当G点与B点重合时，===；
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当G点不与A、B重合时， ∵∠OMD=∠DMQ， ∴△MOD∽△MDQ，
2
∴MO：MD=MD：MQ，即MD=MO?MQ， 而MD=MG，
2
∴MG=MO?MQ， ∵∠OMG=∠GMQ， ∴△MOG∽△MGQ， ∴
=
=，
的值不变，比值为．
综上所述，
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的性质；灵活应用相似三角形的判定与性质，会利用相似比和勾股定理计算线段的长．
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参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；郝老师；lantin；py168；kuaile；wdzyzmsy@126.com；sjzx；张其铎；zhjh；守拙；sks；caicl；HJJ；lanchong；Liuzhx；lanyan；73zzx；自由人；zcx；1286697702；王学峰；gsls（排名不分先后） 菁优网
2016年9月14日
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