高一数学期末复习讲义6
直线
知识点1 直线的斜率和倾斜角
1、过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________． 答案：1
π5π
2、设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是___________．
46
3
答案：?－∞，－?∪[1，＋∞)
3??
知识点2 直线的方程
3、已知直线l过点P(5，2)，分别求满足下列条件的直线方程． (1) 直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍；
5
(2) 直线l与两坐标轴围成的三角形面积为.
222
解：(1) 当直线l过原点时，l的斜率为，∴ 直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；
55xy9
当直线l不过原点时，设方程为＋＝1，将x＝5，y＝2代入得a＝，
2aa2
∴ 直线方程为x＋2y－9＝0.
综上：l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. (2) 显然两直线与x轴不垂直．
∵ 直线l经过点P(5，2)，∴ 可设直线l的方程为y－2＝k(x－5)(k≠0)，则直线在x
2
轴上的截距为5－，在y轴上的截距为2－5k，
k
215
5－?·|2－5k|＝，即(5k－2)2＝5|k|. 由题意，得?k?2?2
14
当k>0时，原方程可化为(5k－2)2＝5k，解得k＝或k＝；
55
2
当k<0时，原方程可化为(5k－2)＝－5k，此方程无实数解；
14
故直线l的方程为y－2＝(x－5)或y－2＝(x－5)，即x－5y＋5＝0或4x－5y－10＝0.
55
知识点3 直线与直线的位置关系
4、已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1) l1//l2时，求a的值； (2) l1⊥l2时，求a的值．
解：(1) a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
2
(2) a＝. 3
知识点4 三角形中的直线问题
5、直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，且A、B的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C的坐标并判断△ABC的形状．
解：由题意画出草图(如图所示)．
设点A(－4，2)关于直线l：y＝2x的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC上．以下先
????a＝4，
求A′(a，b)．由对称性可得?解得?∴ A′(4，－2)．
?b＝－2，b＋2a－4?
＝2·，??22
y－1x－3
∴ 直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0.
－2－14－3
??y＝2x，由?得C(2，4)． ?3x＋y－10＝0，?
1
∴ kAC＝，kBC＝－3，∴ AC⊥BC.
3
∴ △ABC是直角三角形． 练习： 1、直线y??b－21
＝－，
2a＋4
3x?3的倾斜角等于_______,在x轴上的截距为_____,在y轴上的截距为3______ 2、已知A(－1，23)，B(0，3a)，C(a，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．
2π答案： 3
3. 若一直线经过点P(1，2)，且在y轴上的截距与直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距相等，则该直线的方程是________．答案：3x－y－1＝0
4. 过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．
答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0或
5. 直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为________．
答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0
6. 不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．
答案：(－2，3)
7. 点(1，2)到直线l：x－y＋3＝0的距离等于________．
8. 已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，若l1∥l2则a＝________．
答案：－1
9. 经过点(－2，3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线方程为________．
答案：2x＋y＋1＝0
10. 已知直线l过两条直线3x＋2y－1＝0和2x－3y＋8＝0的交点，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是________．
答案：3x＋2y－1＝0
11. 已知点P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程．
解：(解法1)设所求直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点P1、P2到直线的距离相等得
|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|
＝. 22k＋1k＋1化简得|3k－1|＝|－3k－3|，
则有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，
1
解得k＝－或方程无解．
3
方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x＝－1，它与P1、P2的距离都是3.
1
∴所求直线方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.
3
12. 已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．
解：设A点关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x1，y1)，
x1－1y1＋52·－3·＋6＝0，
22
则
y1－53
＝－，
2x1＋1
31x，1＝?13?2x1－3y1－5＝0，311
，－?， ∴?解得即A′?13??131?3x1＋2y1－7＝0，?
y1＝－，
13
3641－，?. 同理，点B关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为B′??1313?∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A′点在直线BC上．
1
－－（－1） 13
∴ 直线BC的方程为y＝x－1，
31－013
整理得12x－31y－31＝0.
415－13
同理，直线AC的方程为y－5＝(x＋1)，
36??－1－?－13?
整理得24x－23y＋139＝0.
5－（－1）
直线AB的方程为y＝x－1，
－1－0
整理得6x＋y＋1＝0.
?????
?
??
高一数学期末复习讲义7
圆的方程
知识点1 圆的方程
1、已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.
(1) 若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；
(2) 圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由． 解：(1) 配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝
2222
－1或2.即x＋y＋2x－2y－8＝0或x＋y－4x－8y＋4＝0为所求方程．
22
?x＋y－4＝0，
?
(2) 整理圆C的方程为(x＋y－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)t＝0，令?－2x＋4＝0，
??－2y＝0
2
2
2
??x＝2，
?故圆C过定点(2，0)． ?y＝0.?
知识点2 求圆的方程
2、已知圆C经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线x－y＋1＝0上，求这个圆的一般方程为．
答案：x2＋y2＋6x＋4y－12＝0
解析：设圆心C(x，x＋1)，则|CA|＝|CB|，所以(x－1)2＋x2＝(x－2)2＋(x＋3)2，解得x＝－3，圆心C坐标是(－3，－2)．半径为CA＝（1＋3）2＋（1＋2）2＝5，故圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25，化为一般方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0.
知识点3 直线与圆的位置关系
3、已知点P(－4，0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25.（1）若直线l过点P与圆交于A，B两点，若AB＝8，求直线l的方程；（2）过点P做圆的切线，求切线方程并求出切线长.
（1） 解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)
若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3， |3k－2|5即＝3，解得k＝－，(10分)
121＋k2此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)
综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)
知识点4 直线与圆综合
?y2?1和点M(4,2).
(Ⅰ)过点M向⊙O引切线l,求直线l的方程;
(Ⅱ)求以点M为圆心,且被直线y?2x?1截得的弦长为4的⊙M的方程;
(Ⅲ)设P为(Ⅱ)中⊙M上任一点,过点P向⊙O引切线,切点为Q. 试探究:平面内是否
PQ存在一定点R,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明
PR4、已知⊙O:x2理由.
y M · o x
【答案】