姓名：唐晴 题目：关于组合数学中的分配问题的讨论
关于组合数学中的分配问题的讨论
作者：唐晴
工作单位：湖南省凤凰县禾库中学
【摘要】 本文主要讲述如何解答分配问题，同时还介绍在分析问题时应该注意的
方法。
【关键词】 组合;分配;平均;不平均
组合数学中的分配问题，即人们常说的“平均分组”与“不平均分组”问题，它既是组合数学中的重点，也是难点，值得广大教学工作者一起探讨。鉴于该类问题的抽象性较大，应用广泛，笔者根据自己的经验与理解，写下了这篇论文，希望对教与学有一定的帮助。
1.相关概念
1.1平均分组问题
平均分成的组，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后要除以Am，即m!，其中m表示组数。至于为什么要除以m!呢？读者不妨看下面的例题。
例 把abcd分成平均两组有多少种分法？
首先，从4个字母当中选两个，即C4种选法，再选剩下的两个C2种选法，根据乘法原理一共C4C2种选法。选得的结果如下：
2222mab?cd ① ac?bd ② ad?bc ③ bc?ad ④ bd?ac ⑤ cd?ab ⑥
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CC其中①⑥相同，②⑤相同，③④相同，所以结果为A422222
种分法。
平均分组包括以下两种类别：有分配对象和无分配对象；分配对象确定和分配对象不确定。
也就是问题探讨前四种问题：均分无分配对象的问题、均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）、部分均分无分配对象的问题、部分均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。
1.2不平均分组问题
1.有分配对象和无分配对象； 2.分配对象确定和分配对象不确定。
即问题探讨的后两种问题：非均分组无分配对象的问题、非均分组有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。
2.问题探讨
2.1均分无分配对象的问题
例2.1 12本不同的书
（1） 按4:4:4平均分成3堆有多少种不同的分法？ （2） 按3:3:3:3平均分成4堆有多少种不同的分法？
CCC
ACCCC（2）
A
解：（1）
312833439333126444442.2均分有分配对象的问题 例2.2 6本不同的书
（1） 平均分给甲乙丙3个人，有多少种不同的分法？（分配对象不确定） （2） 甲2本、乙2本、丙2本，有多少种不同的分法？（分配对象确定）
解：（1）
2CCC?AA643322222233?90（种）
（2）C6C4C2?90（种） 2 / 6
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注意：均分有分配对象的问题，分配对象确定与分配对象不确定是同一回事。
2.3部分均分无分配对象的问题
例2.3 12本不同的书按以下方式分配分别有多少种不同的分法？
（1） 按2:2:2:6分配； （2） 按10:1:1分配； （3） 按2:2:3:3:2分配。
CCCCACCC （2）
ACCCCC (3)
AA解：（1）
1121083311010121122223352212108332222266
2.4部分均分有分配对象的问题
例2.4 12支笔按如下方式分给A、B、C、D、E五个人，分别有多少种不同的分法？
（1） 按3:3:2:2:2分配；（分配对象不确定）
（2） A三本、B三本、C二本、D二本、E二本。（分配对象确定）
解：（1）
3CCCCC?
AAA129642553322322233222（2）C12C9C6C4C2
2.5非均分组无分配对象的问题
例2.5 16本不同的书
（1） 按1:5:10分成3堆有多少种不同的分法？ （2） 按1:3:4分成3堆有多少种不同的分法？ （3） 按2:3:4:7分成4堆有多少种不同的分法？ 3 / 6
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解：（1）C16C15C10 （2）C16C14C8 （3）C16C14C11C7
注意：非均分无分配对象问题只要按比例分再用乘法原理作积。
234726815102.6非均分组有分配对象的问题
例2.6 12本不同的书
（1） 按1:2:3分给甲乙丙3人有多少种分法？（分配对象确定） （2） 1人2本、1人4本、1人6本分给甲乙丙三人有多少种不同的分法？
（分配对象不确定） 解：（1）C12C10C6 （3）
246CCCA
1210632463注意：非均分组有分配对象，并且分配对象不确定，要把组数当做元素个数再做排列。
3.分配问题的相关变形
在掌握了以上基本问题情境的基础上，我们可以把其他更为复杂的组合数学题转化为分配问题，从而达到事半功倍的效果。
例3.1 撒个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，恰有一个空盒的放
法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1、1、2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各一个，另一组2个，分好组后再排列。
解：
CCC?AA4322211234?144（种）
例3.2 有甲、乙、丙三项任务，甲需二人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选
派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
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解：先考虑分组，共有
CCCA10922121128种分法；再考虑排列，因为甲任务需2人承担，
所以2人的那组只能承担甲任务，而1人的组既可以承担乙任务又可承担丙任务。综合起来，不同的选法有
CCC?AA109228122?2520（种）
评析：解数学问题时，要学会“具体问题具体分析”，辩证的对待每一个问题，这样才能提高解题能力。
例3.3 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混双比赛，
不同的比赛分配方法有多少种？
分析：用1、2、3、4标记4名男乒乓球选手，用a、b、c、d标记4名女乒乓球选手，该问题可转化为把男女选手分别平均分配，然后再组合，假设男选手分配为（12）、（34），女选手分配为（ab）、（cd）,则组合可得8种情况：
1a\\2b,3c\\4d; 1a\\2b,3d\\4c; 1b\\2a,3c\\4d; 1b\\2a,3d\\4c; 1c\\2d,3a\\4b; 1c\\2d,3b\\4a; 1d\\2c,3a\\4b; 1d\\2c,3b\\4a. 解：共有
CC?CCAA424222222222?8?72（种）
例3.4 设集合A?{1,2,3,4}，B?{6,7,8}，A为定义域，B为值域，则从集合A
到集合B不同的函数有多少个？
分析：根据函数的概念，可知集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题可转化为将A中的4个元素按2:1:1分配到B中的3个元素里.
解： 5 / 6
CCC?AA4222121133?36（个）
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4.总结
对于“平均分组”与“不平均分组”问题，我们要理解各种情况，同时懂得创新，能够将一些其他的排列组合题转化为分配问题来解决，对我们的教与学是大有裨益的。
【参考文献】
[1]人民教育出版社数学室编著. 普通高中课程标准实验教科书?数学必修2. 北京：人民教育出版社，2004，7
作者简介：唐晴，出生于1986年9月，男，土家族，湖南省凤凰县木江坪镇长车村
人，现就职于湖南省凤凰县禾库中学，担任中学数学教师，中教二级，大学本科学士学位，主要从事数学教学研究和数理逻辑研究。
（附：电话13738421926 邮箱shaoqing525@126.com 收刊人及地址 唐晴，湖南省凤凰县木江坪镇长车村1组 邮编416205）
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