2f2(s2,x2)?0.005x2?s2?7550?7(x2?s2?700)?0.0025(x2?s2?700)2?f2(s2,x2)?0.015x2?0.005(s2?700)?7?0 ?x2解得?x2?700?(13)s2,代入f2(s2,x2)得2f2?(s2)?10000?6s2?(0.0053)s2第四步：(第一、二、三、四季度) 总效果 f1(s1,x1)=0.005 x12+s1+ f2*(s2)
将 s2= s1 + x1 – 600= x1 – 600 代入 f1(s1,x1) 得：
f1(s1,x1)?0.005x12?s1?10000?6(x1?600)?(0.0053)(x1?600)2?f1(s1,x1)?(0.043)x1?8?0?x1解得x1??600,代入f1(s1,x1)得f1?(s2)?11800由此回溯：得最优生产–库存方案
x1*=600，s2*=0； x2*=700，s3*=0； x3*=800，s4*=300； x4*=900。
7、某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产。设机器在高负荷下生产的产量函数为g=8u1，其中u1为投入生产的机器数量，年完好率a=0.7；在低负荷下生产的产量函数为h=5y，其中y为投入生产的机器数量，年完好率为b=0.9。假定开始生产时完好机器的数量s1=1000。试问每年如何安排机器在高、低负荷下的生产，使在5年内生产的产品总产量最高。 解：
构造这个问题的动态规划模型： 设阶段序数k表示年度。
状态变量sk为第k年度初拥有的完好机器数量，同时也是第k?1年度末时的完好机器数量。
决策变量uk为第k年度中分配高负荷下生产的机器数量，于是sk?uk为该年度中分配
在低负荷下生产的机器数量。
这里sk和uk均取连续变量，它们的非整数值可以这样理解，如sk=0.6，就表示一台机器在k年度中正常工作时间只占6/10；uk=0.3，就表示一台机器在该年度只有3/10的时间能在高负荷下工作。
状态转移方程为：sk?1?auk?b(sk?uk)?0.7uk?0.9(sk?uk), k?1,2,?,5 k段允许决策集合为：Dk(sk)??uk0?uk?sk? 设vk(sk,uk)为第k年度的产量，则vk?8uk?5(sk?uk) 故指标函数为：V1,5??vk(sk,uk)
k?15令最优值函数fk(sk)表示由资源量sk出发，从第k年开始到第5年结束时所生产的产品的总产量最大值。因而有逆推关系式：
?f6(s6)?0???8uk?5(sk?uk)?fk?1?0.7uk?0.9(sk?uk)?? ?fk(sk)?umaxk?Dk(sk)??? k?1,2,3,4,5从第5年度开始，向前逆推计算。 当k=5时，有：
f5(s5)?max?8u5?5(s5?u5)?f6?0.7u5?0.9(s5?u5)??0?u5?s50?u5?s50?u5?s5?max?8u5?5(s5?u55)??max?3u5?5s5?
因f5是u5的线性单调增函数，故得最大解u5*，相应的有：
f5(s5)?8s5
当k=4时，有：
f4(s4)?max?8u4?5(s4?u4)?f5?0.7u4?0.9(s4?u4)??0?u4?s40?u4?s40?u4?s40?u4?s4?max?8u4?5(s4?u4)?8?0.7u4?0.9(s4?u4)???max?13.6u4?12.2(s4?u4)??max?1.4u4?12.2s4?
故得最大解，u4*=s4，相应的有
f4(s4)?13.6s4
依此类推，可求得
*?u3?s3, 相应的 f3(s3)?17.5s3?*?u2?0, 相应的 f2(s2)?20.8s2 ?*?u1?0, 相应的 f1(s1)?23.7s1因s1=1000，故：f1(s1)?23700 计算结果表明：最优策略为
*****u1?0,u2?0,u3?s3,u4?s4,u5?s5
即前两年应把年初全部完好机器投入低负荷生产，后三年应把年初全部完好机器投入高负荷生产。这样所得的产量最高，其最高产量为23700台。
在得到整个问题的最优指标函数值和最优策略后，还需反过来确定每年年初的状态，即从始端向终端递推计算出每年年初完好机器数。已知s1=1000台，于是可得：
**s2?0.7u1?0.9(s1?u1)?0.9s1?900(台)**s3?0.7u2?0.2(s2?u2)?0.9s2?810(台)**s4?0.7u3?0.9(s3?u3)?0.7s3?567(台) **s5?0.7u4?0.9(s4?u4)?0.7s4?397(台)**s6?0.7u5?0.9(s5?u5)?0.7s5?278(台)
8、有一辆最大货运量为10t 的卡车，用以装载3种货物，每种货物的单位重量及相应单位价值如表4-20所示。应如何装载可使总价值最大？
表4- 2
货物编号i 单位重量（t） 单位价值 ci 1 3 4 2 4 5 3 5 6 解：建模设三种物品各装x1,x2,x3件
max(4x1?5x2?6x3)?3x1?4x2?5x3?10
??xj?0,xj?I,j?1,2,3利用动态规划的逆序解法求此问题。
s1?c,D1(s1)?{x1|0?x1?s1} s2?s1?x1,D2(s2)?{x2|0?x2?s2} s3?s2?x2,D3(s3)?{x3|0?x3?s3}
状态转移方程为： sk?1?Tk(sk,xk)?sk?x,k?k3, 2,1该题是三阶段决策过程，故可假想存在第四个阶段，而x4?0，于是动态规划的基本方程为：
[xk,fk?1(sk?1)],k?3,2,1??fk(sk)?xkmax?DK(sk) ???f4(s4)?0k?3,
f3(s3)?k?2,
x3?0,1,?,[s3/5]max?6x3?
f2(s2)? ?k?1,
max[5x2?f3(s3)]x2?0,1,?,[s2]4max[5x2?f3(s2?4x2)]x2?0,1,?,[s2]4
f1(s1)?max[4x1?f2(s2)]x1?0,1,2,3 ?max[4x1?f2(s1?3x1)]x1?0,1,2,3
???计算最终结果为x1?2,x2?1,x3?0，最大价值为13 。
9、设有 A，B，C 三部机器串联生产某种产品，由于工艺技术问题，产品常出现次品。统计结果表明，机器 A，B，C产生次品的概率分别为 pA=30%, PB=40%, PC=20%, 而产品必须经过三部机器顺序加工才能完成。为了降低产品的次品率，决定拨款 5 万元进行技术改造，以便最大限度地提高产品的成品率指标。现提出如下四种改进方案：
方案1：不拨款，机器保持原状；
方案2：加装监视设备，每部机器需款 1 万元； 方案3：加装设备，每部机器需款 2 万元；
方案4：同时加装监视及控制设备，每部机器需款 3 万元；
采用各方案后，各部机器的次品率如表4-21。
表4- 3
不拨款 拨款 1 万元 拨款 2 万元 拨款 3 万元 A 30% 20% 10% 5% B 40% 30% 20% 10% C 20% 10% 10% 6% 问如何配置拨款才能使串联系统的可靠性最大？
解：为三台机器分配改造拨款，设拨款顺序为A, B, C，阶段序号反向编号为 k，即第一阶段计算给机器 C 拨款的效果。
设 sk 为第 k 阶段剩余款，则边界条件为 s3=5； 设 xk 为第 k 阶段的拨款额； 状态转移方程为 sk-1=sk-xk；
目标函数为 max R=(1-PA)(1-PB)(1-PC) 仍采用反向递推 第一阶段 ：对机器 C 拨款的效果
R1(s1,x1)=d1(s1,x1)? R0(s0,x0)= d1(s1,x1)
x1 s1 0 1 2 3 4 5 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.94 0.94 0.94 0 1 1, 2 3 3 3 0 1 2 3 x1* R1 (s1, x1*) 0.8 0.9 0.9 0.94 0.94 0.94 第二阶段 ：对机器 B, C 拨款的效果 由于机器 A 最多只需 3 万元，故 s2 ? 2 递推公式：