R2(s2,x2)=d2(s2,x2)? R1(s1,x1*)
例：R2(3,2)=d2(3,2)? R1(1,1)=(1-0.2) ?0.9=0.72 得第二阶段最优决策表
x1 x1* s1 0 1 2 3 4 5 0 1 1, 2 3 3 3 R1 (s1, x1*) 0.8 0.9 0.9 0.94 0.94 0.94
x2 s2 2 3 4 5 0.54 0.564 0.564 0.564 0.63 0.63 0.658 0.658 0.64 0.72 0.72 0.752 0.72 0.81 0.81 2 2,3 3 3 0 1 2 3 x2* R2 (s2, x2*) 0.64 0.72 0.81 0.81 第三阶段 ：对机器 A, B, C 拨款的效果 边界条件：s3 = 5 递推公式：
R3(s3,x3)=d3(s3,x3)? R2(s2,x2*)
例：R3(5,3)=d3(5,3)? R2(2,2)=(1-0.05) ?0.64=0.608 得第三阶段最优决策表
x2 x2* s2 2 2 R2 (s2, x2*) 0.64 3 4 5 2,3 3 3 0.72 0.81 0.81
s3 x3 5 0 0.567 1 0.648 2 0.648 3 0.608 x3* 1,2 R3(s3, x3*) 0.648 回溯 ：有多组最优解。
I：x3=1, x2=3, x1=1, R3=0.8 ?0.9 ?0.9=0.648 II：x3=2, x2=2, x1=1, R3= 0.9?0.8?0.9=0.648 III： x3=2, x2=3, x1=0, R3= 0.9?0.9?0.8=0.648
练习题五
1、考察多目标规划问题
??x?2,?2?x?1?1,1?x?2，试画出个目标函数的图形，并求出其中f1(x)?x2,f2(x)???x?1,x?2?R1,R2,Rab,Rpa,Rwp，这里Ri是minfi(x)的最优解集。
?2?x?4解：
2、用线性加权法中的??法求解下述多目标规划问题
minf1(x)?4x1?6x2maxf2(x)?3x1?3x2。 ?2x1?4x2?14?s..t?6x1?3x2?24?x,x?0?12解：minf1(x)?4x1?6x2最优解为x(1)=[0 0]T；
maxf2(x)?3x1?3x2最优解为x(2)=[3 2]T； 利用?法得线性方程组：
??1*0??2*0?????1*24??2*15?? ?????1?12解得唯一加权系数??[0.3846,0.6154] 原多目标规划加权后
TminF(x)?0.3846f1(x)?0.6154f2(x)
解得加权后的最优解为：x?=[4 0]T，最优值为-1.2312
3、用线性加权求和法求解下述多目标规划问题，取?1?0.6,?2?0.4。
v?minF(x)?(x1?3x2,2x1?x2)T?3x1?2x2?6?x?3x?3?2s..t?1?2x1?x2?2??x1,x2?0
解：将问题转化为一个新的单目标规划问题。
minv(F(x))?0.6(x1?3x2)?0.4(2x1?x2)
约束条件同上，该问题转化为线性规划问题，可用单纯形法求解，也可用Matlab命令求解（求解过程略）。
解得加权后的最优解为：x?=[0 1]T，最优值为-1.4。 4、用平方和加权法求解多目标规划问题：
T V?min(f(x),f(x))12x?D?x1?x2?412?其中 f1(x)?x1,f2(x)?x2，D:?x1?x2?8，?1?,?2?。
33?x,x?0?12解：不难看出两个目标函数下界均为0，得平方和加权法后的新目标规划问题：
122minF(x)?x12?x2
33?x1?x2?4?D:?x1?x2?8 ?x,x?0?12利用matlab程序求解
首先建立目标函数及其梯度函数的M文件 function f=fun(x)
f=1/3*x(1)^2+2/3* x(2)*x(2);
[x,fval]=fmincon(‘f’,[0 0],[1 -1;1 1],[4;8],[],[],[0 0]) 解得最优解为：x?=[0 0]T，最优值为0。
5、用极小极大法和Matlab软件求解下述多目标规划问题
v?mins..t2F(x)?((x1?3)2?x2,x12?(x2?2)2)Tx1?x2?2i。
2,x12?(x2?2)2]，再求 解：取评价函数为v(F(x))?max[(x1?3)2?x22minv(F(x))?min{max[(x1?3)2?x2,x12?(x2?2)2]}
DiMatlab软件求解： 编制M文件 function f=mnmax(x) f(1)=(x(1)-3)^2+x(2)^2; f(2)=x(1)^2+(x(2)-2)^2 设初值 x0=[0;0]; 调用函数
[x,fval]=fminimax(@mnmax,x0,[1 1],[2]) 结果： x = 1.3000
0.7000 fval =
3.3800 3.3800