第十讲 函数列与函数项级数
一、知识结构 1、函数列收敛性
（1）函数列收敛的概念和定义
定义1 设f1,f2,?,fn,?是定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，记作{fn}或fn，n?1,2,3,?. 定义
2 设x0?E, 以x0代入函数列
f1,f2,?,fn,?的数列
f1?x0?,f2?x0?,?,fn?x0?,?. 如果数列{fn(x0)}收敛, 我们称函数列{fn}在点x0收敛,
点x0为函数列{fn}的收敛点. 如果数列{fn(x0)}发散, 称函数列{fn}在发散, 点x0为函数列{fn}的发散点.如果在数集D?E上的每一点函数列f1,f2,?,fn,?都收敛, 则我们称函数列{fn}在D上收敛.记作limfn(x)?f(x),x?D,f(x)称为函数列
n??{fn}在D上极限函数, 或称为函数列{fn}在D上收敛与f(x).
定义3(函数列{fn(x)}在D上收敛于f(x)??N的定义) 对每一个固定的x0?D,对???0,存在正整数N,当n?N时,有fn?x0??f?x0???,我们称函数列{fn?x?}在D上收敛与f(x)，记作limfn(x)?f(x),x?D或fn(x)?f(x)n??（n??）,x?D.
说明 ①对每一个固定的x0?D，都存在一个正整数N，由于D中一般有无限个x0，所以就对应于无限个正整数N，这无限个正整数N中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中?的大小一般既与N的大小有关,又与D上所选取的x0大小有关. （2）函数列收敛的判定方法
数列{fn(x0)}收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列
{fn(x)}在D上的柯西收敛准则.
定理1 (函数列{fn(x)}在D上收敛的柯西准则) 函数列{fn(x)}在D上收敛的充要
条件是:对每一个固定的x0?D,对???0,存在正整数N,当n,m?N时,有
fn?x0??fm?x0???.
定理2 (函数列{fn(x)}在D上收敛的归结原则) limfn(x)?f(x),x?D?对每
n??一个固定的x0?D,当limxm?x0时,有limlimfn(xm)?limfn(x0)?f(x0).
m??n??m??n??2、函数列的一致收敛性
（1）函数列一致收敛性的概念和定义
如果上述定义3中的?大小仅与N的大小有关,与D上所选取的x0大小无关,则我们就得到函数列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x).
定义4(函数列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x)??N的定义) 对
?x?D,???0,?正整数N,当n?N时,有fn?x??f?x???,我们称函数列{fn}在D上收敛与f(x),记作fn(x)??????f(x)( n?? ),x?D.
（2）函数列一致收敛性的判别法
定理3 (函数列{fn(x)}在D上一致收敛的柯西准则) 函数列{fn(x)}在D上一致收敛的充要条件是:对?x?D,对???0,存在正整数N,当n,m?N时,有
fn?x??fm?x???.
定理4 函数列{fn(x)}在D上一致收敛的充要条件是:limsupfn(x)?f(x)?0.
n??x?D 推论 设在数集D上fn(x)?f(x)( n?? ).若存在数列{xn}?D,使
|fn(xn)?f(xn)| ?? 0( n?? ), 则函数列{fn(x)}在数集D上非一致收敛.
3、函数项级数及其一致收敛性 (1) 函数项级数及其和函数
定义5 设?un(x)?是定义在数集E上函数列，表达式上的函数项级数.
?u(x)，x?E称为定义在Enn?1?若x0?E,数列?un(x0)?收敛,即极限limSn(x0)?limn??n????u(x)存在, 则称函数项
k0k?1?nn?1n级数
?u(x)(x?E)在点x收敛, 点x称为函数项级数?u(x)(x?E)的收敛点.
n00n?1若x0?E,数列?un(x0)?发散, 则称函数项级数
??u(x)(x?E)在点xnn?1?0发散, 点
x0称为函数项级数?un(x)(x?E)的发散点. 函数项级数?un(x)(x?E)收敛点
n?1n?1?的全体组成数集D称为函数项级数
??u(x)(
nn?1?x?E)收敛域.表达式
?S(x)?limSn(x)??un(x)(x?D)中的S(x)称为函数项级数?un(x)(x?D)的
n??n?1n?1和函数,或称函数项级数
?u(x)在D上收敛于S(x).
nn?1?定义6(函数项级数
n?u(x)在Dnn?1?上收敛于S(x)的??N的定义) 令
Sn(x)??uk(x),对每一个固定的x0?D,对???0,存在正整数N,当n?N时,有
k?1Sn?x0??S?x0???,我们称函数项级数
??u(x)在D上收敛于S(x)，记作
nn?1?n??limSn(x)??un(x)?S(x),x?D或Sn(x)?S(x)（n??）,x?D或
n?1?u(x)?S(x)（n??）,x?D.
kk?1n说明 ①对每一个固定的x0?D，都存在一个正整数N，由于D中一般有无限个x0，所以就对应于无限个正整数N，这无限个正整数N中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中?的大小一般既与N的大小有关,又与D上所选取的x0大小有关.
(2)函数项级数
?u(x)的一致收敛性
nn?1?如果上述定义6中的?大小仅与N的大小有关,与D上所选取的x0大小无关,则我们就得到函数项级数
?u(x)在D上一致收敛于S(x).
nn?1?定义7(函数项级数
n?u(x)在D上一致收敛于S(x)的??N的定义) 令
nn?1?Sn(x)??uk(x),对?x?D,???0,?正整数N,当n?N时,有Sn?x??S?x???,
k?1我们称函数项级数
n?u(x)nn?1?在D上一致收敛于S(x),记作
?uk(x)k?1??????S(x)( n?? ),x?D或Sn(x)???????S(x)( n?? ),x?D.
(3) 函数项级数
?u(x)的一致收敛性判别法
nn?1定理5(Cauchy准则) 级数
?un(x)在区间D上一致收敛????0, ? N,?n?N,
?p?N,?x?D ? Sn?p(x)?Sn(x)??或|un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)| ? ?.
推论 级数
?un(x)在区间D上一致收敛?un(x)?un??????0 ( n?? ).
定理6 级数
(x)在区间D上一致收敛于S(x)?
n??x?Dn??x?Dlimsup|Rn(x)|?limsup|S(x)?Sn(x)|?0.
定理7( Weierstrass判别法，M-判别法)设级数
?upn(x)定义在区间D上,?Mn是
收敛的正项级数.当n充分大时,对?x?D有|un(x)|?Mn,则证明 ?在D上一致收敛.
?ui?1pn?i(x) ? ?|un?i(x)| ? ?Mn?i? ?Mn?i , 然后用Cauchy准则.
i?1i?1i?1pp亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数
?Mn是级数
?un(x)的一个优级数. 于是定理7可以叙述为: 若级数?un(x)在区间D上存在优
级数,则级数应注意,级数敛.
?u?un(x)在区间D上一致收敛.应用时,常可试取Mn?sup{|un(x)|}.但
x?Dn(x)在区间D上不存在优级数??级数?un(x)在区间D上非一致收
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 定理8（Abel判别法）设（ⅰ）级数
?un(x)在区间I上收敛;（ⅱ）对每个x?I,
数列{vn(x)}单调; （ⅲ） 函数列{vn(x)}在I上一致有界, 即? M?0,使对?x?I和
?n,有|vn(x)| ? M. 则级数?un(x)vn(x)在区间I上一致收敛 .
定理9（Dirichlet判别法） 设（ⅰ）级数
n?un(x)的部分和函数列
Un(x)??uk(x)在区间I上一致有界;（ⅱ） 对于每一个x?I,数列{vn(x)}单调;
k?1（ⅲ）在区间I上函数列{vn(x)}一致收敛于零.则级数敛.
(4) 一致收敛函数列极限函数的解析性质 定理1（连续性）设在D上fn在D上连续.
???????un(x)vn(x)在区间I上一致收
f(x),且对?n,函数fn(x)在D上连续?f(x)证明 要证: 对?x0?D,f(x)在点x0连续.即证:对???0,???0, 当|x?x0|??时?|f(x)?f(x0)|??.
|f(x)?f(x0)| ? |f(x)?fn(x)|?|fn(x)?fn(x0)|?|fn(x0)?f(x0)|.
估计上式右端三项.由一致收敛, 第一、三两项可以任意小;而由函数fn(x)在点x0连续, 第二项|fn(x)?fn(x0)|也可以任意小.所以, 对???0,???0, 当|x?x0|??时,有|f(x)?f(x0)|??