第7章 稳恒磁场
7-1 如图，一个处在真空中的弓形平面载流线圈acba，acb为半径R?2cm的圆弧，ab为圆弧对应的弦，圆心角?aob?900， I?40A，试求圆心O点的磁感应强度的大小和方向。
解 由例7-1 线段ba的磁感应强度 B1?方向垂直纸面向外。
?04π?40(cos45o-cos135o) =4?10?4T0.02cos45?
?的磁感应强度 由例7-2 圆弧acbπ B?2?0I?1μ0?40?3.14?10?4T22π2R420.02方向垂直纸面向内。
习题7-1图
B?B1?B2?0.86?10?4T方向垂直纸面向外。
7-2 将载流长直导线弯成如图所示的形状，求圆心O点处磁感应强度。
解 如图，将导线分成1（左侧导线）、2（半圆导线）、3（右侧导线）三部分，设各部分在O点处产生的磁感应强度分别为B1、B2、B3。
???????根据叠加原理可知，O点处磁感应强度B?B1?B2?B3。
B1?0
B2??0I，方向垂直于纸面向里
4RB3?4πR?0I，方向垂直于纸面向里
O点处磁感应强度大小为
BO?B2?B3??0I4πR(1?π) ，方向垂直于纸面向里。
7-3 一圆形载流导线圆心处的磁感应强度为B1，若保持导线中的电流强度不变，而将导线变成正方形，此时回路中心处的磁感应强度为B2，试求B1:B2
解 设导线长度为l，为圆环时， R?l B??0I??0Iπ
12Rl2π为正方形时，边长为l4，由例7-1
B2?4??0Il4π?8(cos450?cos1350)?82?0Iπl
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B1:B2?π2:82 7-4 如图所示，一宽为a的薄长金属板，均匀地分布电流I，试求在薄板所在平面、距板的一边为
a的点P处的磁感应强度。
解 取解用图示电流元，其宽度为dr，距板下边缘距离为r,其在P点处激发的磁感应强度大小为
习题7-4图
p p
r习题7-4解用图 drdB??0dI2π(2a?r)?Idr，方向垂直于纸面向外。
2π(2a?r)a?0板可分为无数个类似电流元，每个电流元在P点处激发的磁感应强度方向均垂直于纸面向外，总磁感应
Idr?0aaμ0IB?dB??ln2，方向垂直于纸面向外。 强度大小为 p??02π2a-r2πa7-5 在真空中有两个点电荷?q，相距为3d，它们都以角速度?绕一与两点电荷连线垂直的轴转
动。?q到转轴的距离为d。试求转轴与电荷连线交点处的磁场B。
解 设转轴与电荷连线交点为O。根据运动电荷产生磁场公式，可知+q在O处产生的磁感应强度为
B1??04πq?sinπ2??0q?d24πd，方向与转动方向成由右螺旋关系。
同理，-q在O处产生的磁感应强度为
π?2??0q?，方向与转动方向成由左螺旋关系。 B2?024π(2d)8πdq?sin则由场叠加原理，得在O点的总磁感应强度
B?B1?B2??0q?1?q?1(?)?0πd488πd ，方向与转动方向成由右螺旋关系。
7-6 玻尔氢原子模型中，电子绕原子核作圆轨道运动，圆轨道半径为5.3?10?11m，频率
（2）作圆周运动电子的等效??6.8?1015Hz，求（1）作圆周运动的电子在轨道中心产生的B的大小；磁矩。
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解（1） B??0e?4πr2??0er2π?4πr2??0e?2r
4π?10?7?1.602?10?19?6.8?1015?T?12.9T
2?5.3?10?11 （2） I?e??1.602?10?19?6.8?1015A?1.09?10?3A
?πr2?8.82?10?21m2
S m?IS?1.09?10?3?8.82?10?21?9.61?10?24?A?m2?
方向与电子转动方向成由左螺旋关系。
7-7 内半径为a，外半径为b的均匀带电圆环，绕过环心O且与环平面垂直的轴线以角速度?逆
?时针方向旋转，环上所带电量为?Q，求环心O处的磁感应强度B。
解 均匀带电圆环在转动过程中将形成一系列圆电流，转动均匀带电圆环在环心O处的磁感应强度是这些圆电流在环心O处的磁感应强度的矢量和。
现以O为圆心，将均匀带电圆环分割成许多同心细圆环，细圆环半径为r，宽度为dr， 细圆环的带电量为 dq?Q2πrdr 22π(b?a)转动细圆环所产生的电流为 dI?dq?TQ?rdr 2π(b?a)2利用圆电流圆心处的磁感应强度公式 B??0I
2r将上式中的I换成dI，B换成dB，有 dB?积分得 B?磁场方向与?相同。
?0Qπ(b2?a2)2r?rdr ??b?0Q?draπ(b2?a2)2?0?Q 2π(b?a)7-8 半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为q。令此盘绕通过圆盘中心且垂直盘面的轴线匀速转动，角速度?，求圆盘中心O处的磁感应强度。
解 解题过程同习题7-7 B?磁场方向，若q?0?q
2πR?0，与?相同，若q?0，与?相反。
a O b 7-9 如图所示，一根很长的长直圆管形导体的横截面，内外半径分别为a和
b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且电流I导体内部（a?r?b）的磁感应强度分布。
在圆管横截面的电流密度为
均匀分布在管的横截面上。试求
解 电流I均匀分布在内半径为a、外半径为b的导体圆管上，
习题7-9图
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j?取半径为r（aI 22π(b?a)?r?b）的圆形积分回路，应用安培环路定理
??I22可得 ?B?dl?B2πr?? π(r?a) 022?π(b?a)l解得 B， 方向与电流方向成右手螺旋关系。 ? 222πr(b?a)?0I(r2?a2)7-10 半径为a的长导体圆柱，内部有两个直径为a的圆柱形空腔，如图所示。电流I从纸面流出并均匀分布在导体截面上，试求P点和P2点的磁感应强度B. 1解 可假设圆柱体空心部分被填满，O1圆柱体激发磁场用B1 表示，O2圆柱体激发磁场用B2表示，O圆柱体激发磁场用BO表示
?j?Iπa2?2πa42?2I πa2习题7-10图
利用叠加原理求P1点场强
a2a22?0I1?0π4j，?0I2?0π4j， B??0I0??0πaj
B1??B2??02πr2πraaaa2π2π2π(r?)r?2π(r?)r?2222a2a2?0jπa2π4π4?0I2r2?a2
B?Bo?(B1?B2)?(??)?22aa2πrπr(4r?a)r?r?22方向垂直于O1P向左。 1利用叠加原理求P2点场强
a2?0jπ4B1?B2?2π2a2r?4方向如图所示。
习题7-10解用图
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B0? B的大小为
?0I02πr??0πa2j2πr
B?B0?B1cos??B2cos? a2?0πa2j?0jπ4??2??2πr2πa22r?4?0I2r2?a2?
222π4r?ar??ar2?4r?'方向与B0相同。
7-11 如图所示，—根很长的直载流圆柱导体，半径为R，电流I均匀分布在其截面上．求阴影部分的磁通量。
解 由安培环路定理可知，导体内外的磁感应强度分布为： B? B?2πR2?0Ir （0?r?R）
?0I （r?R） 2πr习题7-11图 Bhdr
对于题图情况，方向均为垂直于纸面向里。 在图中到轴线距离为r处作一面积元dS则通过阴影面积的磁通量为
R?hdr，于是有d?M?Bds??M???0I2πR20rhdr??2R?0I2πrRhdr??0Ih4π(1?2ln2)
7-12 质子、氘核与α粒子通过相同的电势差而进入均匀磁场作匀速圆周运动。（1）比较这些粒子动能的大小；（2）已知质子圆轨道的半径为10cm，求氘核和α粒子的轨道半径。
解（1） qα?2q质子?2q氘核 由Ek?qU Eα?2E质子?2E氘核
（2） q质子:q氘核:q??1:1:2
R?m?2mE2mU
??qBqBqBm质子:m氘核:mα?1:2:4R质子:R氘核:Rα?m氘核m质子m?::＝1:2:2 q质子q氘核q??Rα?2R质子?14cm
R氘核44