因此，本文的克里格插值以空间分布特征研究为基础，直接利用分析所得的半变异函数的理论模型进行普通克里格插值。
克里格法实质上是利用区域化变量的原始数据和半方差函数的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进行线性无偏最优估计的一种方法。具体的讲，它是根据待估样点有限邻域内若千己测定的样点数据，在认真考虑了样点的形状、大小和空间相互位置关系，它们与待估样点相互空间位置关系，以及半方差函数提供的结构信息之后，对该待估样点进行的一种线性无偏最优估计。它既考虑了采样表面的总趋势变化统计特征，又考虑采样表面特征的相关变化和随机变化。
克里格法将上述三项分别称为采样表面的结构项、相关项和随机噪音。克里格法和以往各种内插法的不同还在于它最大限度地利用了空间采样所提供的各种信息。在估计未知样点数值时，它不仅考虑了落在该样点的数据，而且还考虑了邻近样点的数据不仅考虑了待估样点与邻近已知样点的空间位置，而且还考虑了各邻近样点彼此之间的位置关系。此外克里格法还利用已有观测空间分布的结构特征，这种估计比其它传统方法更精确、更符合实际。但克里格内插法是根据无偏估计和方差最小两项要求来确定加权系数，其中关键的函数是半方差函数，如果半方差函数和相关分析结果表明区域化变量的空间相关性并不存在，则此方法不适用。下面详细介绍一下半方差函数。
半方差函数半方差函数定义为：区域化变量z(xi)和z(xi?h)的增量平方的数学期望即区域化变量增量的方差。半方差函数既是距离h的函数，又是方向a的函数。其计算公式如下：
1N(h)r(h)?[z(xi)?z(xi?h)]2 （9） ?2N(h)i?1式中：r(h)为半方差函数值，半方差函数曲线图是半方差函数r(h)对距离h的坐标图形。N(h)是被分隔的数据对的数量,z(xi)和z(xi?h)分别是点在xi和xi?h处样本的测量值，h是两分隔样点的距离。
半方差值与对应距离共同组合半方差图。图中C0是块金方差，反映了最小取样距离内由于样点变异性和测量误差所引起的方差，C0?Ci是基台值，是半方差随距离增加到一定程度后出现的平稳值,C0是结构方差，是基台值和块金系数之间的差值,a是变程，当 h?a时，可认为样点完全独立，不受空间影响，当h
由于土壤采样点各属性值取值受误差影响，因此研究其空间变异的半方差函数模型应是有基台值的函数模型。主要有以下模型
?0,h?0?3h1h3??3),0?h?a （10） 球状模型r(h)??C0?C(2a2a???C0?C,h?a
?0,h?0?高斯模型r(h)?? （11） h22a??C0?C(1?e),h?0
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0,h?0??指数模型r(h)?? （12） ha??C0?C(1?e),h?0
为了使理论模型能最充分地描述所研究的某一区域化变量的变化规律，在建立模型
的过程中要对模型进行最优拟合。通常情况下，根据半方差函数分布图初步选择几种合适模型进行拟合，通过比较平均误差、均方根预测误差、平均标准差、标准化误差和平均标准化误差等参数和预测误差图来选择最优的模型。
由于特异值的存在会对变异函数具有显著的影响，因此数据处理前剔除这些特异值是十分有必要的。本文采用域法识别特异值，即样本平均值加减倍标准差，在此区间以外的数据均定为特异值，将其剔除。而数据的非正态分布会使得半变异函数产生比例效应，进而造成实验半变异函数产生畸变，抬高基台值和块金值，增大估计误差变异函数点的波动大，甚至会掩盖其固有的结构，因此应该消除比例效应。这些数据经常用对数变换后参加计算，从而消除比例效应。
本研究中，由于重金属Hg、Cu具有强相关性，重金属Cd、Zn、Pb具有较强的相关性，因此可认为分别来自于两类污染源。由于重金属As的含量较低，不形成污染，因此不讨论。重金属Cr、Ni的含量虽然不低，但生物毒性很小，因此也不考虑。重金属含量数据的统计结果见表9。
表9 半方差函数 块金值基台值残差平方块金值/基台值元素 变程（m） 理论模型 Co/(C+Co) （Co） （Co+C） 和RSS 9.11963 9.11963 15640 1 0.02 Hg、Cu 球面 0.14 1.945 1520 0.071979 0.173 Cd、Zn、Pb 球面 本文采用GS+9.0软件进行数据统计分析，半变异函数的计算及其拟合。步长的选
择采用距离组方法，即用一定距离范围内所有样点距离的平均值作为步长分组，本文步长划分以为间距。本文选取拟合度最好的模型类型最适合模型决定系数较大，残差平方和较小，计算了研究区土壤中种重金属含量的实验变异函数，并根据实验变异函数特点进行了理论变异函数的拟合，拟合计算采用加权回归法，以距离倒数作为权重。得出的各重金属相应参数结果见表9，变异函数图见图三。
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图3 组合金属元素的变异函数及分布图
根据上图可知，Cd、Zn、Pb三种金属组合存在3个污染源，Hg、Cu两种金属组合存在2个污染源。
模型的优缺点与改进方向
优点：运用kriging插值法，比普通的空间差值更准确、曲线更平滑、效果更明显。 运用建立的数学模型进行预算重金属污染源位置，与MATLAB的空间分布图、元素平面分布图中，所直观显示的高浓度区域相符合。故该模型具有可靠性和参考性，可以进行推广和其它方面的应用。
运用建立的数学模型进行预算重金属污染源位置，与MATLAB的空间分布图、元素平面分布图中，所直观显示的高浓度区域相符合。故该模型具有可靠性和参考性，可以进行推广和其它方面的应用。但kriging插值方法是平滑插值，对空间极值预测性不强，因此需要加入随机的认为干扰，以达到稳定。
（四）问题四
为更好地研究城市地质环境的演变模式，应该结合当地的天然地貌，主要包括：分水岭、山脊、斜坡、悬崖、沟谷、河谷、河鳗等主要复杂地势，查明其分布位置、形态分布特征、组合特征、过度关系与相对时代。还应该适当的结合热工地貌：主要包括露天采矿场、人工边坡、水库与大坝等。结合气象与水文调查，调查当地水文地质，以及植被情况调查等。考虑到微生物对土壤中重金属活性的影响主要体现在以下4 个方面: ①生物吸附和富集作用,②溶解和沉淀作用, ③氧化还原作用, ④菌根真菌与土壤重金属的生物有效性关系。重金属可与土壤有机质形成稳定的络合物,对重金属在土壤中的化学行为产生深刻的影响。在建立模型的过程中，考虑到以上几个方面，收集相关信息，使模型更准确、形象。
参考文献
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[3] 姜启源, 谢金星, 《数学建模案例选集》, 高等教育出版社, 2006-01出版 [4] 王文波,《数学建模及其基础知识详解》, 武汉大学出版社, 2006-05出版 [5] 马莉, 《MATLAB数学实验与建模》, 清华大学出版社, 2010-01出版
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