题目 第三章数列数列的综合应用 高考要求
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题 (3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题 知识点归纳
1通项与前n项和的关系：Sn?an???a1,(n?1)?Sn?Sn?1,(n?2)
2迭加累加法：
若an?an?1?f(n),(n?2)，
则a2?a1?f(2) ， a3?a2?f(3)，???， an?an?1?f(n)
?an?a1?f(2)?f(3)??f(n) 3迭乘累乘法：
若anaaa?g(n)，则2?g(2)，3?g(3)，???，n?g(n) an?1a1a2an?1an?g(2)?g(n) a11111?(?)
(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C?4裂项相消法：an?5错位相减法：
an?bn?cn, ?bn?是公差d≠0等差数列，?cn?是公比q≠1等比数列 Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn 则qSn?b1c2????bn?1cn?bncn?1
所以有(1?q)Sn?b1c1?(c2?c3???cn)d?bncn?1
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6通项分解法：an?bn?cn
7等差与等比的互变关系：
?an?成等差数列??ba?(b>0,b?1)成等比数列
n?an?成等差数列??can?d?(c?0)成等差数列
?an?成等比数列??logban?成等差数列 ?an?成等比数列??ank?成等比数列
8等比、等差数列和的形式：
an?0?an?成等差数列?an?An?B?Sn?An2?Bn ?an?(q?1)成等比数列?Sn?A(qn?1)(A?0)
9无穷递缩等比数列的所有项和：
Sn??an?(|q|<1)成等比数列?S?limn??a1 1?q题型讲解
例1 等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n为何值时，Sn最大？
解：根据?an?首项a1>0,成等差数列?an?An?B?Sn?An2?Bn，若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn最大；
若m+k为奇数，当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn最大 例2 已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+?+1/(2n)>
12loga(a?1)?对123于一切大于1的自然数n都成立，求a的取值范围
解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+?+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式 ∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+?+1/(2n)
∴f(n+1)－ f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+?+1/(2n+2) 〕
－〔1/(n+1)+1/(n+2)+?+1/(2n)〕 ＝1/(2n+2) +1/(2n+1) －1/(n+1) ＝1/(2n+1) －1/(2n+2) >0
∴f(n+1)> f(n)
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∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12, ∴ 7/12>
12loga(a?1)?, 123解得：1q且q≠1, p≠1, 设Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和，求limSn n??Sn?1Sna1(q?1)(pn?1)?b1(p?1)(qn?1)解：,以下分两种情况讨论： ?n?1n?1Sn?1a1(q?1)(p?1)?b1(p?1)(q?1)(1)当p>1时,
∵ p>q>0,∴ 0 n??n??qpn1pn两边同除以pn,得：lim(2)当p<1时, Sn=p; n??Sn?1Sn=1 n??Sn?1∵ p>q>o,∴ 0 limSn(即曲边梯形OAnBn的面积) n??解：Sn= 111221321n?2??()??()????()2 nnnnnnnn=(n+1)(2n+1)/(6n2); limSn=1/3 n??本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想 例5 等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r∈N)是关于x的一组方程 ①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根； ②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数 第3页 共11页 列 解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=─1; ②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列 例6 数列{an}的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,?),a,b是常数，且b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点Pn都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r 的取值范围 ?a1,(n?1)证明：①根据Sn?an??得an=a+(n─1)? 2b, S?S,(n?2)n?1?n∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b ②由x=an=a+(n─1)?2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法） (3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是： (r─1)2+r2>r2; (r─2)2+(r─1/2)2>r2; (r─3)2+(r─1)2>r2 ∴ r的取值范围是(1,5/2─2)∪(0,1)∪(4+6,+∞) 例7 已知数列{an}满足条件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q (q>0)的等比数列，设bn=a2n─1+a2n (n=1,2,3,?) ①求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3 (n∈N) 成立的q 的取值范围； ②求bn和lim1,其中Sn为数列bn的前n项的和； n??Sn③设r=2192─1,q=05,求数列{ log2bn?1}的最大项和最小项的值 log2bn解：①rqn─1+rqn>rqn+1, q>0 ?0 an?1an?2an?2ba?a2n?2a2n?1q?a2nq=q≠0 ??q?n?1?2n?1?anan?1anbna2n?1?a2na2n?1?a2n∴ {bn}是首项为1+r,公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn─1, 第4页 共11页 当q=1时，Sn=n(1+r), lim1=0; n??Sn当0 n??Sn当q>1时，lim1=0; n??Sn③ log2bn?119.2?n=f(n)==1+1/(n─202), 20.2?nlog2bn当n?21时，f(n)递减，∴ f(n)?f(21)?1 ∴ 当n=21时， log2bn?1log2bn?1有最大值225;当n=20时，有最小值─4 log2bnlog2bn例8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？ 解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,?xn, 由已知x2─x1=x3─x2=x4─x3=?=xn─xn─1, ∴ {xn}为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n), ∴ 1(x1?x2???xn)?1?x1+x2+?+xn=24n; 24n即n(x1+xn)/2=24n ?x1+xn=48, 又xn=5x1 , ∴ xn=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟 例9 某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=03) 解：用归纳法求解， 第一年存量：125a─x; 第二年存量：125(125a─x)─x=a?1252─x(1+125); 第三年存量：125?[a?1252─x(1+125)]─x=a?1253─x(1+125+1252); ?? 第20年末存量：a?12520─x(1+125+1252+?+12519)=a?12520─4x(1─12520) 第5页 共11页