依题意：a?12520─4x(1─12520)=4a,
又设y=12520?lgy=20lg125=20(1─3lg2)=2 ∴ y=100,即12520=100?x=8a/33 答：每年的最大砍伐量为8a/33 例10 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)
解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：
A(1?0.01)10b(1?0.1)Ab?4(1?0.22) 10104?10x104(1?0.22)?104(1?0.01)10(1?0.1)解得：x?,
10?1.22再用二项式定理进行计算可得：x?4 解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷， 可得：
a(1?0.22)(104?10x)a?104(1?10%)?x?4 (公顷) ?
AA(1?0.01)10例10 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年
末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末的汽车保有量为a1，以后每年末的汽车保有量依次为
a2,a3....，每年新增汽车x万辆 由题意得an?1?0.94an?x即an?1?
xx?0.94(an?) 0.060.06xx)0.94n?1?0.060.0630令an?60,解得x?(30?)?0.06n?11?0.94上式右端是关于n的减函数,且当n??时,上式趋于3.6an?(30?故要对一切自然数n满足an?60,应有x?3.6,即每年新增汽车不应超过3.6万辆
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学生练习
1在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=30,a5+a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15= 答案：130
2数列{an}中，a15=10,a45=90,若{an}为等差数列，则a60= ;若{an}为等比数列，则a60= ; 答案：130，±270（两种解法）
3a1,a2,?,a2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为60，下标为偶数的项的和为45，则该数列的项数是 答案：7（直接列方程）
4{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5为 ； 答案：5
5设等差数列{an}的前n项之和为30，前2n项之和为100，则它的前3n项之和为 答案：210
6{an}是等差数列，且a1─a4─a8─a12+a15=2,求a3+a1 3的值； 答案：─4
7一个等差数列共n项，其和为200，其中前10项之和为25，后10项之和为75，则n= 答案：40
8等比数列{an}中，已知a1a2a3=1,a4a5a6=2,则a7a8a9a10a11a12= 答案：32;
9等比数列{an}中，Sn=2n─1,则a12+a22+?+an2等于 答案：(4n─1)/3
?,若Sn 10数列{an}和{bn}均为等差数列，它们的前n项之和分别为Sn ,Sn?=(7n+2)/(n+4),则a5/b5= /Sn答案：5;
11等差数列{an}的公差为1/2,且前100项之和为S100=145,求a1+a3+a5+?+a99的值 答案：S100=a1+a3+a5+?+a99+a2+a4+a6+?+a100=2(a1+a3+a5+?+a99)+50d=145? a1+a3+a5+?+a99=60
12项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项 答案：S奇+S偶=Sn; S奇─S偶=a中； Sn=na中 ?a中=11 13等差数列{an}中，前m项之和(m为奇数)为77，其中偶数项之和为33，a1─am=18,求此数列的通项公式 第7页 共11页
答案：
m?1m?1(a1?am)?44, （奇数项之和） (a2?am?1)?33，44两式相除得到：(m+1)/(m─1)=4/3 ?m=7，再联立方程组解得：a1=20,am=2?d=─3?an=─3n+23 14 在等差数列{an}中，如果Sm/Sn=m2/n2(m,n为已知数),求am/an的值 答案： (2m─1)/(2n─1)
15等差数列{an}中，公差d≠0,其中ak1,ak2,?,akn?构成等比数列，若
k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+?+kn 答案：由题意知a52=a1a17,列方程得到a1=2d,公比q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3,
∴ akn=a1? 3n─1, (1)； 又akn=a1+（kn─1）d=
kn?1a1 (2); 2由(1)及(2)得kn=2?3n─1─1,∴ k1+k2+?+kn=2(1+3+32+?+3n─1)─n=3n─n─1 16在1/n和n+1之间插入n个正数，使得这n+2个数成等比数列，求插入的n个数之积 n?12答案：()
n17等差数列{an}中，a3=12,S13<0,S12>0,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1,S2,?,S12中哪一个最大？并说明理由 答案：(1)由S12=12a1+12?11d/2>0, S13=13a1+13?12d/2<0 , a3=a1+2d=12得到： 24+7d>0, 3+d<0 ?─24/7 (2)两种解法：方法一：Sn是n的二次函数，由此函数配方结合d的范围求出最大值 方法二：S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0 ?a6+a7>0,a7<0?a6>0,a7<0,故当n?6时，Sn递增，n?6时，Sn递减，∴ S6最大 18(1)数列{an}是首项为1000，公比为1/10的等比数列，数列{bn}满足 nbk= 1(lga1?lga2???lgak)(k∈N),求数列{bn}的前多少项的和最大？ k(2)数列{an}中，S7=S12 , 则数列的前 项之和最大 答案：（1）bk=3─(k─1)/2, bk为等差数列； bn?0, bn+1?0,?6?n?7所以第6项和第7项最大； （2）8或9数形结合 19已知n∈N,函数y=(x2─x+n)/(x2+1)的最小值与最大值的和为an,又 第8页 共11页 b1+2b2+?nbn=(n+10)(9n?1100)? 109①求an和bn的表达式； ②令Cn=─anbn,试问数列{Cn}有没有最大项？如果有，求出最大项，如果没有，说明理由 答案：①先用判别式法求出an=n+1, 9n?1100)? (1) 1099n?2100? b1+2b2+?(n─1)bn─1=(n+9)() (2) 10919n?1相减得：bn=?(), 910n?19n?1(), ② 从而Cn= 910又b1+2b2+?nbn= (n+10)(考虑数列的单调性，由Cn?Cn─1, Cn?Cn+1 ?8?n?9 故最大项为C8=C9=(97) 1018已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别减去1，3， 9后又成等差数列，求证： 1111?????1 a1a2a3an答案：a2=8, 设公比为q,则(8/q─1)+(8q─9)=2(8─3)?q=2或q=1/2(舍去) Sn= 123n123n??????2?3?4???n?1, a1a2a3an22221n?<1 2n2n?1用错位相减法得Sn=1─ 19已知等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=1/Sn,且a3b3=1/2,S3+S5=21 ①求数列{bn}的通项公式; ②求证：b1+b2+?+bn<2 答案：①bn= 112; ②bn=2(?)裂项相消，结果为2─2/(n+1)<2 nn?1n(n?1)20已知函数f(x)=(x─1)2,数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q∈R,q≠1),若a1=f(d─1),a3=f(d+1),b1=f(q─1),b3=f(q+1) ①求数列{an},{bn}的通项公式； 第9页 共11页 ②设数列{cn}对任意自然数n均有 cc1c2c3?????n?an?1成立，求b1b2b3bnc1+c3+c5+?+c2n─1的值 ③试比较(3bn─1)/(3bn+1)与an+1/an+2的大小，并证明你的结论 答案：①an=2(n─1); bn=3n─1; ②cn/bn =an+1─an=2?cn=2bn=2?3n─1? c1+c3+c5+?+c2n─1=(9n─1)/4; ③(3bn─1)/(3bn+1)=(3n─1)/(3n+1), an+1/an+2=n/(n+1) 猜想n∈N时，有(3n─1)/(3n+1)? n/(n+1), 用数学归纳法证明（略） 21一计算机装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数列{n}中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列{an},结果表明： ①从A口输入n=1时，从B口得到a1=1/3; ②当n?2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一个结果an─1先乘以自然数列{n}中的第n─1个奇数，再除以自然数列{n}中的第n+1个奇数,试问： (1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？ (2)从A口输入2000时，从B口得到什么数？ 答案：(1)a1= 111,a2=,a3=; 3?55?71?3(2)猜想am= 1,用数学归纳法证明（略）， (2m?1)(2m?1)∴ a2000=1/15999999 课前后备注 考题2【2006重庆文】如图，对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x?4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn)。 （Ⅰ）试证：xnsn??4(n?1)； （Ⅱ）取xn?2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点。试证： 2FC1?FC2???FCn?2n?2?n?1?1； 第10页 共11页 考题2【2004北京春】 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 7 12 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） a1j a2j ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ?? ?? ?? ?? ?? a3j a4j ?? ai1 ?? ai2 ?? ai3 ?? ai4 ?? ai5 ?? aij ?? 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数。 （I）写出a45的值；（II）写出aij的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。 第11页 共11页