例2、Rutherford 对裂变物质的观测
（Poisson分布）
英国著名物理学家 Rutherford（1871－1937）在其放射性物质试验中，观测在时间间隔ΔT内放射性物质放射出的α粒子数。实际试验时，取时间间隔为ΔT=7.5秒，观测了 N＝2608次，将每次观测到的粒子数记录下来，列在下表中第1，2行：
粒子数X 频数n 0 57 1 203 2 383 3 525 4 532 5 408 6 273 7 139 8 45 9 27 ?10 16 0.077837 0.146856 0.201304 0.203988 0.156442 0.104678 0.053298 0.017255 0.010353 0.006135 频率f 0.021856 0.080722 0.156197 0.201494 0.194945 0.150888 0.097323 0.053805 0.026028 0.011192 0.006547 概率p 0.020858
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我们用X表示ΔT=7.5秒内观测到的α粒子数，它是一个随机变量，服从什么分布呢？在2608次观测中，共观测到10094个α粒子数，平均每次观测到
λ=M÷N＝10094÷2608≈3.87
个α粒子数，用参数为λ=3.87的Poisson分布P计算一下：
P{X?k}??kk!e??,???k?0,1,2,?,??
将计算结果列在上表中最后一行，与列在第3行的实际频率比较，比较的图示在下图中。（Excel）
0.250.20.150.10.050012345678910观测频率理论概率P（3.87）
可以看出，认为X服从参数为3.87的Poisson分布还是非常合理的。在后面统计部分,我们会用Pearson－?拟合检验法来证明这种合理性。 目录 Back Next
2作业：用MATLAB计算本题。 poisspdf（x，λ），计算poisson概率， poisscdf, poissinv, poissrnd 例如，poisspdf(0:9,3.87)
问题：Poisson分布是又一类非常重要的用来计数的离散型分布，它依赖于一个参数?。什么样的随机变量会服从Poisson分布呢？
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在给定的观测范围内（例如给定时间内，给定区域内，等等），事件会发生多少次？把观测范围分成n个小范围： 1、 给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，
发生多少次取决于小范围的大小；
2、 在不同的小范围内发生多少事件相互独立； 3、 在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范
围的大小相比可以忽略不计，用pn表示在小范围内事件发生一次的概率。
npn那么在给定范围内发生的总事件数X近似服从B(n,pn)，
为给定范围内事件发生次数的近似平均值。令n??，则npn??为给定范围内事件发生次数的准确平均值，这时
kkkn?kP(X?k)?Cnpn(1?pn)??kk!e??,???k?????????
这正是Poisson分布，其中参数?＝E(X)。
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例3、正态分布
随机变量X如果有密度函数
1p(x)?e2??(x??)2?2?2????????x???,?????
2(?,?)的正态分布，记做则称此随机变量服从参数为
X?N(?,?2)，其中??R,????0,都是给定的参数，
E(X)??,?D(X)??2?。称N(0,1)为标准正态分布，用?(x)表
示其分布函数，其密度函数为
1?(x)?e2?X?N(?,?2)时，我们有
x2?2????????x???.
P{a?X?b}??p(x)dx??ab??(x)dx???b??????a?????? a????????????b?? 目录 Back Next