第二十六讲 不定方程
【知识要点】 定义1.形如
(
不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。 基础知识
1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
【例题讲解】
例1．求不定方程解：先求
的整数解。
的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：
，
，
将上述过程回填，得：
由此可知，
，
是方程是方程
的一组特解，于是的一组特解，因此原方程的
一 切整数解为：
例2．求不定方程
。
的所有正整数解。
解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：
因为是整数，故也一定是整数，于是有，再用5去除比式的两
边，得经观察得
，令为整数，由此得。
是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特
，所以原方程的一切整数解为：
例3．求不定方程
的正整数解。
。
解：显然此方程有整数解。先确定系数最大的未知数的取值范围，因为的最小值为
1，所以。
当时，原方程变形为，即，由上式知是偶数且
故方程组有5组正整数解，分别为，，，，；
当时，原方程变形为，即，故方程有3组正整数解，分别
为：，，；
当时，原方程变形为，即，故方程有2组正整数解，分别
为：，；
当时，原方程变形为，即，故方程只有一组正整数解，为。
故原方程有11组正整数解（如下表）： 2 4 6 8 10 2 4 6 2 4 2 13 10 7 4 1 9 6 3 5 2 1 1
例4．求出方程解：先求最小解当所以
时，
。令；当的最小解为
时，，于是： 的所有正整数解。
；当
时，
。
1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
例5今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买
100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组
①化简得 15x+9y+z=300． ③ ③-②得 14x+8y=200， 即 7x+4y=100． 解7x+4y=1得
于是7x+4y=100的一个特解为
由定理知7x+4y=100的所有整数解为
由题意知，0＜x，y，z＜100，所以
由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足
x+y+z=100．
t x y z 26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84
即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
【习题讲解】
1.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？
2.求不定方程x-y=2的正整数解．
3. 求11x+15y=7的整数解．
4.求方程6x+22y=90的非负整数解．
5. 求方程7x+19y=213的所有正整数解．
6.求方程37x+107y=25的整数解．
7.某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？
8.求方程9x+24y-5z=1000的整数解．